线性规划考题探究

郭红清

摘 要：高中数学中线性规划的教学和考查充分凸显了代数和几何的结合，在教学中应突出线性规划问题的基本特征和解题规律. 本文选取了近年来相关的优秀试题进行针对剖析，从更高层次、更宽角度审视线性规划的教学地位和思想方法.

关键词：基本问题；平面区域；约束条件；目标函数；双变量；转化化归

线性规划的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源（人力、物力和财力）去实现这个任务；二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务的完成数最多.

“线性规划”在知识的整合、解题思路的拓展、方法的迁移等方面都有其鲜明的特点，有着丰富的思想内涵. 挖掘题中条件，不失时机地运用“线性规划”的思想方法解题，将使我们观察思考问题的立意更高，视野更加开阔.

“线性规划”问题的教学现状

在中学教材中，称求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题为线性规划问题. “线性规划”的教学分为三个层次：

（1）二元一次不等式表示的平面区域；

（2）二元一次不等式组表示的平面区域；

（3）线性目标函数在约束条件下的最值.

只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决.

例如：设实数x，y满足0≤x≤1，0≤y≤2，2y-x≥1，则z=2y-x+4的最大值是__________.

上述问题可转化为一个平面区域与一条直线在有公共点的前提下，结合z的几何意义来求解.

具体教学过程中，学生感觉有困难的部分是作图环节，体现在速度慢，不够准确. 如何准确有效地作出所需图形，应给予学生充分的指导、训练和体验. 学生作图时会出现过于细致的问题，如逐步描绘坐标系刻度；又或出现过于轻率的问题，连图形的形状和基本特征都无法抓住.这两个问题都使解题的速度和准确性大打折扣.

当然，线性规划是一个比较深入的课题，教材中也介绍了更多变量的线性规划问题，可引导学生进一步学习.

线性规划问题的考查特点与趋势

1. 转化成基本线性规划问题

常规考题考查知识与技能，但还需要学生有一定的转化和化归意识，命题者会在行文叙述、符号变化、算式特征等方面设置一定障碍，需要解题者对得到的信息加工出熟悉的数学模型.

例1 （江苏2013年9题）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）. 若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是__________.

分析：本题以抛物线的切线为背景，以文字叙述的方式提供了可行区域，题中曲线切线利用导数可得.

解决：求导得y′=2x，切线方程为y=2x-1 ，转化为等价的基本问题：约束条件为x≥0，y≤0，y≥2x-1，目标函数z=x+2y. 作出图形，易知z的取值范围为-2，.

例2 设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是__________.

分析：如何将其化归成基础问题，找到未知问题和基本题之间的桥梁是破解的关键.

解法一：整体代换，令xy2=m，=n，

那么==，转化为等价问题：约束条件为3≤m≤8，16≤N≤81.目标函数为z=，z几何意义为对应区域内动点与坐标原点连线的斜率，易得最大值为27.

解法二：将除法转变为和或差，题中代数式两边都取以2为底的对数，令log2x=A，log2B=y. 转化为等价问题：约束条件为log23≤A+2B≤3，2≤2A-B≤2log23，目标函数为z=3A-4B，可行区域如图，容易求得z的最大值为3log23，那么=2z的最大值是27.

图2

点评：解法一采用了整体换元，解法二采用了取对数化积为和、化除为差，通过转化和化归转化成已经解决过的基本问题.

2. 线性规划问题的拓展延伸

（1）线性规划问题中目标函数的拓展

熟悉线性规划基本题还远远不够，深刻把握它的数学特点和数学思想，在实际处理问题中将未知问题转化为基本题才更重要. 那么该类问题的基本特点是什么，常见问题是什么？只有清楚这些，我们才能在实际处理过程中及时、敏锐地转化问题，达到解决问题的目的.

以下提供最常见的基本类型；

约束条件：实数x，y满足y≤x，y≥0，2x-y≤2，可行区域如图3.

图3

目标函数（1）：z=3x+y的最大值是__________，z的几何意义即直线y=-3x+z的纵截距；

目标函数（2）：z=的最大值是__________，z的几何意义即可行区域内动点P（x，y）与点（-1，0）所连直线的斜率；

目标函数（3）：z=的最大值是__________，z的几何意义即可行区域内动点P（x，y）与点（0，1）之间的距离.

与线性规划相关的问题普遍具有一些基本特征，主要表现为已知条件是含“双变量”的不等关系，目标任务为代数式的最值或取值范围问题. 可解决的目标函数也不一定是线性代数式，可以为其他类型.常见的可以为乘积或比值形式、二次或根式形式，甚至可以用向量等给出的代数式. 也不一定拘泥于目标函数的最值问题，也可成为以可行区域为背景的面积、向量、概率等问题.

（2）线性规划问题中约束条件的拓展

我们可以将它的数学思想拓展得更宽. 约束条件不一定要是线性约束条件，相应的平面区域也可以为直线、圆、曲线等构成的复合形态.

例如：实数x，y满足x2+y2=1，则x+y的最大值是__________.

此题可行区域可认为是圆，可视为曲线圆与直线x+y=m有公共点. 由此看来，约束条件的给出有了更大的空间，线性规划这个知识点也更容易渗透到其他数学知识点中.

例3 若a>0，b>0且+=1，则a+2b的最小值为__________.

分析：题目涉及两个变量的等量关系，可以考虑减元处理，已由代数式整理得a=-b++1，结合基本不等式解决a+2b的最小值；也可以考虑其几何意义，视作以b为自变量的函数，那么P（b，a）为函数图象上的每一个点.

图4

解决：a=-b++1，令z=a+2b，z表示此直线的纵截距.当直线与曲线相切时z最小，此时a′=-2.求导a′=-1-，所以b=，a=-++1=+，所以a+2b=+.

例4 （江苏2012年14题）已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是__________.

分析：此题和基本问题的相似度极高，已知条件含有3个变量，而且目标函数为比值形式，有明确的几何意义. 由代数式clnb≥a+clnc的逻辑计算知ln≥，由此得到转化的突破口，可转化为两个变元.

图5

解决：已知两个不等式同除c得到5-3≤≤4-，ln≥.记=x，=y，

转化为等价问题：

约束条件为x，y>0，5-3x≤y≤4-x，lny≥x？圳y≥ex，目标函数k==.

作出图形，利用导数求出曲线y=ex过坐标原点的切线为y=ex，发现切点T（1，e）在可行区域内. 综上，直线y=kx过C点时k最大，与曲线y=ex相切于点T时k最小. 所求取值范围为[e，7].

图6

点评：三变量的问题转化为两变量问题，该问题的解决具有一定的代表性.由已知代数式还可以考虑同除a或b进行转化，不是每一个转化都适合，但有些转化又是相通和可行的，因此求解时需要一定的尝试和观察.

3. 线性规划问题的知识迁移

有些数学问题并无明显的线性规划痕迹，却也可以转化成线性规划的基本问题，比如解析几何、函数、数列等含有多个变量的数学问题可采用线性规划的方法来求解. 以下试题立足于课本，但高于课本，题目充分体现了命题教师的高瞻远瞩，而反过来又对高中的教学提出更高要求.

例5 （江苏2011年14题）设集合A=（x，y）≤（x-2）2+y2≤m2，x，y∈R，B={（x，y）2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠，则实数m的取值范围是__________.

分析：两集合为点集，交集非空.思考难度超越课本，类比线性规划，将其转化为两个平面区域有公共点，同时本题的计算量大.

解决：集合A对应区域为D1，集合B对应区域为D2，D2容易认识为两平行直线确定的带状区域. 由区域D1非空可知m2≥，求得m≤0或m≥.

（1）m=0区域D1收缩为一点，容易判断不满足要求；

（2）m≠0区域D1又分为两种情况，当m<0时D1表示一个半径为-m的圆，当m>0时表示两个同心圆确定的环形区域.不论哪种情况，要满足题意，只需要保证圆（x-2）2+y2=m2和直线x+y=2m或直线x+y=2m+1其中之一有公共点. 圆心到两直线距离分别为d1和d2，且d1=，d2=. 所以d1≤r=m或d2≤r=m，容易解得m∈1-，2+，综合以上分析，实数m的取值范围是，2+.

点评：问题描述采用了几何语言，解决思路和线性规划有类似之处，同时解析几何背景很强，充分考查了直线和圆的位置关系，而且分析时利用分类讨论细化，处理时又不讨论集中解决，思维跳跃度很大.

例6 已知a，b为常数，a≠0，函数f（x）=a+ex. 若f（2）<0，f（-2）

分析：此题仅仅从表象上看到已知条件对变量a，b作了限制，与线性规划知识点的相关性相当隐蔽. 该题目变量的关系相互依赖性较强，关键从已知条件合理的抽离出最有效约束条件.

图7

解决：由f（2）<0，f（-2）0，b<0，2a+b<0，2a-b<2，4a+b≥0，点（a，b）形成的平面区域如图7为△OAB，面积易得为.

点评：g（x）=ax2+bx-b≥0恒成立分析较难，考虑不等式成立的必要条件攻克了这个难点，根据代数式的依存关系得到约束条件，画出图形，所求面积视为两个三角形面积差.

以上可以看出这些问题和教材中很多知识点综合，都需要学生具备良好的知识迁移能力. 包括高考在内的众多考题都或多或少地含有线性规划知识或思想的若干部分，这样的考题都具备一定的难度，成为命题的热点题型，在考试中层出不穷.

教学感悟与思考

高中数学教学中，“数形结合”的思想方法，是最常见和最行之有效的思想方法. 线性规划是高中数学教学中渗透“数学结合”思想的有效载体，可以和函数、数列、向量、解析几何等知识交汇，形成一些让人耳目一新、具有创意的题目和解法.

因此在教学时，切忌操之过急，作图过程中要肯投入时间，要让学生有体验. 在解决问题时要注重学生知识的建构，建立在理解的基础上传授知识，渗透数学思想，不能变成灌输式的教学. 否则，学生只能解决数学课本上的基本问题，不能完成知识的迁移.