基于极值理论与蒙特卡洛模拟的商业银行操作风险度量研究

陈宝东 刘学娟 邸浩

[摘 要] 本文以商业银行操作风险的度量为研究目标，以操作风险高级计量法的思想为导向，运用极值理论及银行的损失分布情况对操作风险进行量化研究。极值理论注重模拟收益或损失分布的尾部，而操作风险存在明显的厚尾现象，所以极值理论可以比较有效地解决在操作风险数据较少的客观条件下如何计量操作风险的问题。文章阐述了如何运用极值理论对操作风险求取在险价值（VaR），且在已有现实数据的情况下，引入蒙特卡洛模拟法扩展数据并进行实证分析，使得所求VaR值更加精确。

[关键词] 操作风险； 极值理论； 蒙特卡洛模拟； VaR

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2014 . 06. 043

[中图分类号] F832.3； F224 [文献标识码] A [文章编号] 1673 - 0194（2014）06- 0070- 04

1 引 言

操作风险是指由不完善或有问题的内部程序、员工和信息科技系统，以及外部事件所造成损失的风险，包括法律风险，但不包括策略风险和声誉风险[1]。中国银监会于2012年6月7日正式下发了《商业银行资本管理办法》，明确提出了操作风险资本将计入银行资本充足率，操作风险成为继信用风险和市场风险之后的又一大风险被加以重视。《商业银行资本管理办法》第一百八十条提出银监会于2008年10月制定的《商业银行操作风险监管资本计量指引》的可行性，《指引》规定了新资本协议银行和自愿实施新资本协议的其他商业银行计量操作风险监管资本的要求，也规定了操作风险资本计量的3种方法：标准法、替代标准法、高级计量法。其中标准法和替代标准法是针对操作风险管理水平较为初级的银行，而高级计量法则为国际活跃银行和操作风险管理水平较高的银行所偏重，其风险敏感度也更高[2]。所以，对商业银行高级计量法进行研究有重要的理论和现实意义。

关于高级计量法，常见的有以下3种具体的方法：内部计量法、损失分布法以及记分卡法，其中，损失分布法的在商业银行操作风险计量中应用最为广泛。但是，操作风险数据具有明显的厚尾特征，普通的分布不能较好地反映这一厚尾性质，而在没有充分考虑操作风险厚尾性而进行计量时，往往得到的结果不准确。对于商业银行来讲，操作风险尾部的损失计量和管理尤为重要，因为这些是低频高危事件的反映区间，银行需要建立更为牢靠的操作风险管控措施，才有可能抵御能够造成重大损失的风险事件。因此，对操作风险尾部数据的研究尤为重要。极值理论能很好地处理厚尾分布的问题，所以，利用极值理论来衡量低频高危的操作风险损失事件尤為适合，且已引起银行风险研究者的重视[3-6]。

本文在介绍极值理论模型的基础之上，进一步分析说明搜集的操作风险损失数据情况，并利用QQ图证明所获取数据的厚尾性，从而明确了极值理论模型在本文数据基础上的适用性，并选取相应的阈值，将数据进行筛选并计算风险价值。我国操作风险数据的一个重要特征是数据量少以及数据搜集较为艰难，因为有些操作风险的损失事件没有被记录，或者涉及到银行自身的保密性，想要得到支撑模型计算的数据尤为艰难。所以，在搜寻到的实际数据量较为有限的情况下，本文就所得的真实数据进行蒙特卡洛模拟，利用模拟扩展得到的数据以及极值理论模型计算出操作风险的风险价值。

2 极值理论模型介绍

2.1 Peaks Over Threshold模型

极值理论模型中最常见的方法是POT（Peaks Over Threshold）模型，POT模型是对观察值中超过某一给定阈值的数据进行建模，由于模型能够充分利用尾部信息，从而可以减少经典VaR方法低估操作风险所可能带来的损失。下面对POT模型进行介绍：

POT模型刻画的是随机变量X超过某个阈值u的分布。设随机变量X的分布是F（x），u为一个阈值，Y = X - u为超过阈值的随机变量，其分布函数为：

Fu（y） = P（X - u ≤ y | X > u） y ≥ 0 （1）

根据条件概率公式我们可以得到：

Fu（y） = ■ = ■ x ≥ u

？圯 F（x） = Fu（y）（1 - F（u）） + F（u） （2）

由Pickand-Balkema-deHaan定理可知，当阈值u充分大时，Fu（y）收敛到广义帕累托分布Gξ，σ（y）：

Fu（y） ≈ Gξ，σ（y） = 1 - 1 + ■y-1/ξ ξ ≠ 01 - e-y/σ ξ = 0 u→∞ （3）

式中，ξ是形状参数，当ξ = 0时，帕累托分布即是指数分布；当ξ > 0时，帕累托分布是一种重要的厚尾分布。

2.2 厚尾性判断——QQ图法

因为POT模型中的数据默认为具有厚尾特征，我们需要对所选的数据进行验证是否具有厚尾特征，从而分析是否可用POT模型进行进一步计算。

令X1，X2，…，Xn为一列独立同分布的随机变量，并且用X1，n > X2，n >，…，> Xn，n表示这列随机变量的一个排序，QQ图被定义为以下点集：

Xk，n，F-1■？摇，k = 1，2，…，n （4）

其原理是基于经验分布以及假设分布的拟合比较，如果这个假定的分布能够较好地拟合数据，那么QQ图将显示为近似线性。因此，QQ图可以用来比较多个选定的参数分布对数据的拟合程度从而选择拟合最好的分布。分布的尾部特征也能在图形中得到检验，如果分布具有厚尾特征，图形则会在右端向上弯曲，基于此可以判断数据的厚尾特征。

2.3 阈值的选取——Hill图

极值理论阈值u的选取可以利用Hill图进行计算：

令X（1） > X（2） > … > X（n）表示独立同分布的顺序统计量。尾部指数的Hill统计量定义为：

Hk，n = ■■ln■ （5）

Hill图定义为点（k，H-1k，n）构成的曲线，选取Hill图形中尾部指数的稳定区域的起始点的横坐标K所对应的数据Xk作为阈值u。

2.4 风险险价值计量

基于帕累托分布，对于给定的一个样本{x1，…，xn}，对数似然函数L（ξ，σ | y）可以表示为：

L（ξ，σ | y） = -nlnσ - 1 + ■■ln1 + ■yi ξ ≠ 0-nlnσ - ■■yi ξ = 0 （6）

当u确定以后，利用{x1，…，xn}，根据公式（6）进行最大似然估计得到 ■ 和 ■。同时，我们得到{x1，…，xn}中比阈值u大的个数，记为Nu，F（z）在x > u时的表达式：

F（x） = Fu（y）（1 - F（u）） + F（u）

= ■ 1 - 1 + ■（x - u） -1/ξ+ 1 - ■■（1 - e-（x - u）/σ） + 1 - ■

= 1 - ■1 + ■（x - u） -1/ξ ξ≠01 - ■e-（x - u）/σ ξ = 0 （7）

對于给定某个置信水平p，可以由F（x）的分布函数公式（7）可以得到：

VaRp = u + ■■p - 1 ξ≠0u - σln■p ξ = 0 （8）

ESp = VaRp + E（X - VaRp | X > VaRp）

根据GPD的条件分布函数公式可以得到：

ESp = VaRp + ■ = ■ + ■ （9）

3 数据情况及实证分析

由于实际中搜集数据的困难性，文中不能只针对某一家银行的数据进行分析计量，所以，选取了11家银行的2005-2011年所搜集到的操作风险数据进行统一分析。摘抄其中部分数据如表1～2所示。

3.1 损失频率以及损失金额分布拟合

以操作风险损失频率常见的泊松分布为例，利用表1中的数据，使用极大似然法估计泊松分布的参数为：1.09，图1为损失频率数据的直方图以及估计出来的泊松分布图。

以操作风险损失频率金额常见的对数正态分布为例，使用极大似然法估计该分布的参数：均值为6.25、方差为2.67，图2为损失金额数据的直方图以及估计出来的对数正态分布图。

3.2 蒙特卡洛模拟

根据损失频率分布和损失强度分布，使用Monte Carlo模拟算法来模拟年累计损失分布，模拟1 000次，得到1 000条年累计损失（由于篇幅有限，文中只给出部分结果），如表3。

3.3 数据分析及计算结果

由蒙特卡洛模拟得到的1 000个数据，我们分别画出QQ图和Hill图，如图3～4所示，可以看出数据具有一定的厚尾分布，且阈值在Hill图趋近于平稳的情况下，大概可以取9 000作为阈值，然后利用公式（6）～（9）给出风险价值的近似值344 931.4万元。

4 结 论

本文通过对现有实际数据的初步分析，进行蒙特卡洛模拟对数据进行扩展，然后分析数据的性质并进行风险价值的计算，用清晰明了的步骤进行了分析说明。本文仅限于极值理论的单纯应用，也可以将极值理论方法、损失分布方法、蒙特卡洛模拟以及连接函数对操作风险计量进行更进一步的研究，可以划分业务条线以及对数据分段分别进行建模并整合计算。且越来越多的研究者认为可以将操作风险和银行内部控制等进行整合研究，进一步提升商业银行操作风险的管理能力，我们也会在现有理论的基础之上，结合实际情况，研究更有实际价值的操作风险计量方法。

主要参考文献

[1] 中国银行业监督管理委员会. 商业银行资本管理办法[S]. 2012.

[2] 中国银行业监督管理委员会. 商业银行操作风险监管资本计量指引[S]. 2008.

[3] 徐明圣. 极值理论（EVA）在金融机构操作风险建模中的应用与改进[J]. 数量经济技术经济研究，2007（4）：76-83.

[4] 吴恒煜，赵平. 我国商业银行操作风险的度量[J]. 山西财经大学学报，2009，31（8）：109-115.

[5] 陈倩. 基于极值理论的商业银行操作风险度量研究[J]. 中国管理科学，2012（20）：332-339.

[6] 张文，张屹山. 应用极值理论度量商业银行操作风险的实证研究[J]. 南方金融，2007（2）：12-15.