6174猜想

叶子

1955年，卡普耶卡（D.R.Kaprekar）研究了对四位数的一种变换：任给出四位数k0，用它的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m，再减去它的反序数rev（m），得出数k1=m-rev（m），然后，继续对k1重复上述变换，得数k2。如此进行下去，卡普耶卡发现，无论k0是多大的四位数。

只要四个数字不全相同，最多进行7次上述变换，就会出现四位数6174。

例如：

k0=5298，k1=9852-2589=7263，

k2=7632-2367=5265，

k3=6552-2556=3996，

k4=9963-3699=6264，

k5=6642-2466=4176，

k6=7641-1467=6174。

后来，这个问题就流传下来，人们称这个问题为“6174问题”，上述变换称为卡普耶卡变换，简称 K 变换。

一般地，只要在0，1，2，…，9中任取4个不全相等的数字组成一个整数k0（不一定是四位数），然后从k0开始不断地作K变换，得出数k1，k2，k3，…，则必有某个m（m≤7），使得km=6174。

更一般地，从0，1，2，…，9中任取n个不全相同的数字组成一个十进制数k0（不一定是n位数），然后，从k0开始不断地做K变换，得出k1，k2，…，那么结果会是怎样的呢？现在已经知道的是：

n=2，只能形成一个循环：（27，45，09，81，63）。例如取两个数字7与3，连续不断地做K变换，得出：36，27，45，09，81，27，…出现循环。

n=3，只能形成一个循环：（495）。

n=4，只能形成一个循环：（6174）。

n=5，已经发现三个循环：

（53855，59994），

（62964，71973，83952，74943），

（63954，61974，82962，75933）。

n=6，已经发现三个循环：

（642654，…），（631764，…），（549945，…）。

n=7，已经发现一个循环：（8719722，…）。

n=8，已经发现四个循环：

（63317664），（97508421），（83208762，…），

（86308632，…）

n=9，已经发现三个循环：

（864197532），（975296421，…），（965296431，…）

容易证明，对于任何自然数n≥2，连续做K变换必定要形成循环。这是因为由n个数字组成的数只有有限个的缘故。但是对于n≥5，循环的个数以及循环的长度（指每个循环中所包含数的个数）尚不清楚，这也是国内一些数学爱好者热衷于研究的一个课题。