浅谈微积分中数列极限的概念

董秀明

摘 要： 极限是微积分中最基本也是最重要的一个概念.微积分可以看成是围绕极限而展开的，例如研究函数的连续性、可导性、可积性，无穷级数的敛散性等.因此，作为微积分中的第一个重要概念，对它的透彻理解是相当重要的.

关键词： 微积分 数列 极限

1.极限在微积分中的重要性

极限的思想是微积分中最重要的思想.微积分的内容可以分为：极限理论，连续，微分，积分，无穷级数，以及有关的应用.其中，极限理论统领整个微积分，是微积分的理论基础.连续、微分、积分在本质上是不同形式的极限，无穷级数的敛散性是由极限的存在与否进行定义的.例如函数在某点处的导数就是函数在该点函数值的增量与自变量增量的比值的极限；而定积分则是某种形式的和式的极限，其中的分割、近似代替、求和与去极限的思想能解决许多实际问题，这些实际问题在微积分出现之前是不可能得到完全解决的.因此，深刻理解极限的定义是至关重要的.然而，对于刚刚接触极限的大一同学来说，极限不同形式下的概念是很深奥的，理解起来有很大难度.下面就简单地谈谈极限理论中常见的数列极限的定义.

2.数列极限的直观引入

3.关于定义的注释和常见的理解错误

另外，ε任意小的正数，且以小为贵，我们可以限定ε范围为ε∈（0，1），此时可以取N=[lnε/ln|q|+1]；但是不能取ε∈[1/|q|，+∞）这样的区间，因为ε≥1/|q取值不可能是很小的正数了.找到N以后，按照定义写出结论即可.

（3）正整数N是不唯一的，重要的是其存在性，如N取1000，则比1000大的任何正整數都可以作为N.N与ε有关，可以记为N（ε），说明N对ε的依赖关系，但是不能认为N是ε的函数.

（4）一般来说，可以要求ε越小，N越大，但N也可以不随ε减小而增大.

参考文献：

[1]蔡光兴，李德宜.微积分（经管类）（第二版）[M].科学出版社，2011.

[2]同济大学应用数学系.高等数学（第六版）[M].高等教育出版社，2007.