浅谈递推数列求通项公式

涂德伦

数列知识是高考中的重要考查内容，而求数列的通项公式是递推数列考题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列等容易处理的数列，使问题由难变易，化陌生为熟悉，根据不同的递推关系式，采用相应的变形手段，达到转化的目的，从而找到解题的突破口和关键点，它可以培养学生的观察能力、理解能力和逻辑思维能力。下面通过具体的例题来探讨和归纳递推数列求通项的常用类型和策略方法。

类型一：形如an+1=an+f（n）的递推式

例1.已知数列{an}满足a1= ，an+1=an+ ，求an的值。

解：由条件可知：an+1-an= = = -

分别令n=1，2，3，…，（n-1），代入上式得（n-1）个等式累加之，即（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）=（1- ）+（ - ）+（ - ）+…+（ - ）

所以an-a1=1- ，∵a1= ，∴an= +1- = -

思路点拨：把原递推公式转化为an+1-an=f（n），利用累加法（逐差相加法）求解。

类型二：形如an+1=f（n）an的递推式

例2.已知数列{an}满足a1= ，an+1= an，求an的值。

解：由条件知 = ，分别令n=1，2，3，…，（n-1），代入上式得（n-1）个等式累乘之，即

· · ·…· = × × ×…× ？圯 =

又∵a1= ，∴an=

思路点拨：把原递推公式转化为 =f（n），利用累乘法（逐商相乘法）求解。

总之，求数列通项公式的方法并不满足以上所述，对于同一问题的求解也不仅是一种方法，只有在平时学习与探究过程中不断地体会与总结，要知道总结方法比做題更重要！方法产生于具体数学内容的学习过程中，我们只有将知识与方法学活，才能做到游刃有余。

（作者单位 重庆市潼南第一中学校）

编辑 代敏丽