浅谈分类思想的教学策略

王友祥

本文针对部分学生不会分类，分类不全面，标准不统一以至有畏难情绪等现状，结合学生实际，提出分类讨论的三个教学策略，以求学生能理解分类讨论思想方法的含义，初步掌握该方法的解题步骤，能够运用分类讨论思想方法解决数学问题.

一、分类讨论的教学策略（一）

“按需求而分”.在中学教学中，根据研究对象，数学的问题过程需要进行分类讨论，需要是根本，在教学中，应挖掘教材，采用分类讨论思想方法解决有关教学问题.同时，一定要让学生体验到分类讨论的必要性，是因解决问题的需要而讨论进而逐步化为学生的思想意识。

1.有些概念本身就是分类定义（如绝对值）.有些性质就应分类表达（如指数、对数性质）

例1.设a>1，解关于x的不等式logaax2

分析：原不等式化为1+2logaax

①logax≤-■；②-■

2.用一些公式、法则、定理等应用范围的限制需要讨论

例2.直线经过点M（1，2），求在x、y轴截距相等的直线方程.

分析：设在x轴、y轴截距分别为a、b，依题有两类情况：

①a=b≠0；②a=b=0

解：设在x轴，y轴上的截距分到为a、b，依题意得：

①a=b≠0，设所求直线方程■+■=1，把M（1，2）代入■+■=1

求得a=3，即所求直线方程为■+■=1，即x+y-3=0.

②a=b=0，设所求直线方程y=（k≠0），把M（1，2）代入y=kx求得k=2，即所求直线方程y=2x.

故所求直线方程x+y-3=0或y=2x.

例3.已知椭圆■+■=1的离心率e=■，则m的值___.

分析：分焦点在x轴y轴两类情况解m值.

①當焦点在x轴上，则a2=5，b2=m，解得m=3.

②当焦点在y轴上，则a2=m，b2=5，解得m=7.

故所求的m值为3或7.

3.含有参数问题时，根据研究对象的不同类型需分类讨论

例4.已知a∈R，求函数f（x）=x2eax的单调区间.

分析：本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质方法，考查分类讨论的数学思想.

解：函数f（x）的导数：f'（x）=2x.eax+ax2.eax=（2x+ax2）eax.

①当a=0时，若x<0，则f'（x）<0，若x>0，则f'（x）>0.所以当a=0时函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；

②当a>0时，由2x+ax2>0，解得x<-■或x>0，由2x+ax2<0解得-■0时，函数f（x）在区间（-∞，-■）内为增函数，在区间（-■，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；

③当a<0时，由2x+ax2>0，解得0-■，所以当a<0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，-■）内为增函数，在区间（-■，+∞）内为减函数.

从此题可看出：利用导数研究函数的单调性在近几年新课程高考中经常出现，这样的问题，往往与解含字母参数的不等式综合到一起，体现了在知识交汇点命题的高考命题思想，解答这种问题，学生易错之处在于对字母参数的分类讨论.

二、分类讨论的策略（二）

恰当确定分类标准，不重不漏，分类讨论解决问题。首先根据问题的需要而分类讨论，其次确定划分标准，同一次分类要按统一标准进行，（1）对事件的整体分类；（2）根据需要，局部再分类.

例1.已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数，①C（A∪B）且C中含有3个元素；②C∩A≠Φ.

分析：由已知并结合集合的概念，C中的元素分为两类：①属于A的元素；②不属于A的元素而属于B的元素，并由集合A中元素的个数1，2，3而将取法又分3种.

解：C112C28+C212C18+C312C08=1084

例2.从7名运动员中选出4名组成4×100接力队，其中甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法数为多少？

分析：此问题可分为两个步骤解决，先决定谁参加接力队，再安排他们的跑棒顺序，从7名运动员选4名组成接力队，是组合问题，依题意要考虑三种情况：4人中不含甲和乙；4人中只含甲、乙之一；4人中同时包含甲和乙.

解：C45A44+2C35A12A33+C25A22A22=400

三、分类讨论的数学策略（三）

尽量避免讨论.在高中教学过程，有时候分类讨论是解决问题的必须，但有时候通过认真分析问题的本质意义，采用代换的方法，换一种思维方式解决问题，常可避免繁杂讨论，给出简洁的解法.

例1.求经过点P（3，2■）、Q（-6■，7）的双曲线的标准方程.

分析：若分焦点在x轴，y轴由上两种情况分别求解，得出结论，过程较复杂，运算大且易出错，若直接设所求双曲线方程为Ax2+By2=1（AB<0），将P、Q两点坐标代入联立方程组求A、B值，这样就避免讨论，又计算量较小且不易出错.

例2.设函数f（x）=ax2-2x+2，对于满足1，求实数a的取值范围.

分析1：本题为含参数二次函数问题，常规思路是转化为二次函数的最小值，通过对a的不同取值情况，进行讨论，突现问题的解决.（答案：a>■）.

分析2：通过变重分离得：a>■-■=■-2（■-■）2，问题转化为求该函数的最大值，简化（避免）了讨论的过程.

从此题看，分析1应用分类讨论法，其余解法体现了问题的转化思想，避免分类讨论，解法较简洁.

总之，在各个模块的教学中，教师要引导学生逐步渗透用分类讨论等数学思想去解决问题.

（作者单位 福建省漳州龙海程溪中学）

？誗编辑 董慧红