波利亚与“怎样解题”

杨丽霞

波利亚主张数学教育主要目的之一是发展学生的解决问题的能力，教会学生思考。1944年在美国出版了《怎样解题》（How to solve it），其中“怎样解题”表总结了人类解决数学问题的一般规律和程序，对数学解题研究有着深远影响。解题方法数学问题规律程序波利亚曾经教过中学，长期从事大学数学教学工作。在漫长的岁月中，他的精湛的教学艺术与杰出的数学研究相结合，产生了他特有的丰富的数学教育思想。波利亚数学教育思想有两个基点：其一是关于对数学科学的认识，其二是关于对数学学习的认识。其中他的《怎样解题》产生深刻影响。

一、怎样解题

1.理解题目

未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知量，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图，引入适当的符号。把条件的各个部分分开，能否把它们写下来？

2.找出已知数与求知数之间的联系

如果找不出直接的联系，可能不得不考虑辅助问题，应最终得出一个求解的计划。

拟订计划：你以前见过它吗？是否见过相同的问题而形式稍有不同？是否知道与此有关的问题？是否知道一个可能用得上的定理？观察未知量。试想出一个具有相同未知量或相似未知量的熟悉的问题。能应用它吗？能不能利用它？能利用它的结果吗？为了能利用它，是否应引入某些辅助元素？能不能重新叙述这个问题？能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。

如果不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？

3.执行方案

执行解题方案，检验每一步骤。能否清楚地看出这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？

4.检查已经得到的解答

回顧：能否检验这个结果？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能把这结果或方法用于其他的问题？

二、例子

例题：已知长方体的长、宽和高，求它的对角线长度。

第一步：理解题目。

教师和学生之间的对话可以像下面这样开始：

“未知量是什么？”“这个长方体的对角线的长度。”

“已知数据是什么？”“此长方体的长、宽和高。”

“引入适当的符号。用哪个字母表示未知量？”“x。”

“你选哪些字母来表示长、宽和高？”“a，b，c。”

“联系a、b、c与x的条件是什么？”“x是长为a、宽为b和高为c的长方体的对角线长度。”

“这是一个合理的题目吗？我的意思是，条件是否足以确定未知量？”“是的。如果我们已知a、b、c，我们就知道了长方体，如果长方体被确定，其对角线也就被确定了。”

第二步：拟定方案。

“你们知道一道与它有关的题目吗？”“观察未知量。你们是否知道有哪一道题目和这一道题目有相同的未知量？”“那么，未知量是什么？”“长方体的对角线。”“你们知道有什么题目和这一题目有相同的未知量吗？”“不知道，我们从来没碰到过关于长方体的对角线的题目。”“你们知道有什么题目和这一题目有相似的未知量吗？”“你们看，对角线是一条线段，是一条直线的一部分。难道你们从未做过未知量是一条线段长度的题目吗？”“我们当然做过这样的题目。比如说求一个直角三角形的一条边。”“很好。这里有一道题目和你们的题目有关而且以前解过。你们能利用它吗？”“非常幸运的是，你们能想起一道与你们现在要解的题目有关，并且你们以前曾经解答过的题目。你们想要在这里应用它吗？”“往这儿看，你们所记得的题目是关于一个三角形的。在你们现在的图形里有没有三角形呢？”引入一个直角三角形，图中用阴影强调指出。

“我认为在图中把那个三角形画出来是一个很好的主意。你们现在有了一个三角形，但是你们有没有找到未知量呢？”“未知量就是这个三角形的斜边，我们可以用勾股定理把它计算出来。”

“如果两条直角边都是已知的，你们是会计算的，但是它们是否已知呢？”“其中一条直角边是给定的，就是c。至于另外一条，我想也不难求出。对了，这条直角边又是另一个直角三角形的斜边。”“太棒了！现在我知道你们已经有了一个方案了。”

第三步：执行方案。

学生有了解题思路。他发现了一个直角三角形，这个直角三角形的斜边就是要求的未知量x，它的一条直角边是已知的高度c，另一条边是长方体一个面上的对角线。也许必须激励学生引入其他合适的符号。他应引入y来标记另一条直角边，也就是长方体一个面上的对角线，这个面的两条边长分别为a和b。这样，在引入了另一个求未知量y的辅助题目后，他解题的思路就更清晰了。最后，在先后对两个直角三角形分别进行计算后，他可以得到：

第四步：回顾。

你能检验这个结果吗？“你用到所有的已知数据了吗？”“所有三个已知量a、b、c都在你的对角线公式中出现了吗？”“假如a、b、c互换，表达式时候保持不变？”

三、对《怎样解题》的评价

正如著名数学家范·德·瓦尔所说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的书。”

参考文献：

[1]百度百科.

[2]维基百科.

[3]G·波利亚著.涂泓，冯承天译.怎样解题.上海：上海科技教育出版社，2011.

[4]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论.北京：高等教育出版社，2004.