由一道数学题引发的思考

崔欣梅

笔者今年执教五年级数学。在教学体积，这一类型的题时引起了我的思考。在北师大版第十册数学第49页中有这样一道题：“牙膏盒长15厘米，宽和高都是3厘米。现有一纸箱，内侧的尺寸是长60厘米，宽和高都是30厘米，这个纸箱中最多能放多少盒牙膏？”（课本中有图形）学生在学习了长方体的体积计算后对于这样的题他们很自然就会想到：先算一个牙膏盒的体积，再算纸箱的体积，然后用纸箱的体积÷牙膏盒的体积。对于这道题学生这样做当然是毋庸置疑的。教參中是这样说的：可以引导学生先研究解决问题的思路，必要时，教师可以借助一些直观物体帮助学生理解。通过分析，学生知道要先求出这个纸箱的体积和每个牙膏盒的体积，再用纸箱的体积除以每个牙膏盒的体积。教参中的讲解和学生的理解是一样的，而且这类题学生刚接触，学生的这种做法是合情合理的，是非常正确的。

可是在配套的五年级下册数学练习册第40页有这样一道题：将一块长8厘米，宽7厘米，高4厘米的长方体木块截成体积最大的正方体，截出的正方体的体积是多少？可以截出几个这样的正方体？对于第一问学生没有问题，看到第二问，学生自然想到课堂中学的方法：“大体积÷小体积”，他们是这样做的：8×7×4=224（立方厘米）4×4×4=64（立方厘米）224÷64≈3（个）可是我们再联系实际想一想：长方体的长是8厘米要截成长是4厘米的只能截2个，8÷4=2个，宽是7厘米要截成4厘米长的只能截一个7÷4=1（个）…3（厘米），高是4厘米，截后还是4厘米，所以这道题最后只能截成2×1×1=2（个）。很显然两种算法的答案不一样，仔细想想，第一种算法是错的，这道题只能按第二种方法做。

那么，遇到这样的题到底该怎样教呢？下面我引用两个题进行说明。

例1.把一块棱长为4分米的正方体大面包切成棱长为8厘米的正方体小面包，一共可以切多少块？（北师大版五年级数学下册课本第77页第4题）

解法一：

1.换算单位：4分米=40厘米

2.计算大面包的体积：40×40×40=64000（立方厘米）

3.计算小面包的体积：8×8×8=512（立方厘米）

4.大面包的体积÷小面包的体积：64000÷512=125（块）

解法二：

1.换算单位：4分米=40厘米

2.看长能切几块：40÷8=5（块）

3.看宽能切几块：40÷8=5（块）

4.看高能切几块：40÷8=5（块）

（因为大面包是正方体，所以第2、3、4步可以合成一步，写三步是为了更清楚地理清思路。）

5.5×5×5=125（块）

对于这道题两种方法都可以。

例2.一个长方体盒子长6厘米，宽4厘米，高3厘米，在里面放棱长为2厘米的小正方体，最多可以放几个？（选自未央区2007～2008年期末试卷）

这道题如果用大体积÷小体积做出来是这样的：

6×4×3=72（立方厘米）

2×2×2=8（立方厘米）

72÷8=9（个）

第二种6÷2=3（个）

4÷2=2（个）

3÷2=1（个）…1（厘米）

3×2×1=6（个）

对两种方法进行思考后，毫无疑问第二种是正确的。

那么什么时候用第一种方法，什么时候用第二种方法呢？纵观以上的分析，我认为：学生的第一印象往往是最深刻的，我们在教学这类题时第一次就应该给学生形成严谨的理解，可以给学生这样讲：“如果原来长方体的长，宽，高分别是要切成的长方体的长，宽，高的倍数，可以用大体积÷小体积；如果长，宽，高之间不存在倍数关系，则只能用第二种解法。”所以解决这种问题通用的方法是：长除以长，看长可以分成几块，宽除以宽，看宽可以分成几块，高除以高，看高可以分成几块，然后用长上分成的份数乘宽上分成的份数乘高上分成的份数。写到这儿，我突然想起了一道这样的题：“边长为12厘米的正方形纸，可以剪成几个边长是2厘米的小正方形？”（北师大版三年级下册第49页）这种类型的题不是这样思考更严谨吗？

总之，我认为对于体积的教学，无论是大体积里面放小体积，还是把大体积分成小体积都应该联系生活实际，在教学时把最严谨的思路教给学生，这样做才是考虑学生的发展，才是在教学生用数学，而不仅仅是学数学。

（作者单位 西安市太元路学校）

编辑 薛直艳