一种处理Cole-Cole色散媒质的FDTD改进方案

刘广东， 张开银， 范士民

（阜阳师范学院物理与电子科学学院，阜阳 236037）

一种处理Cole-Cole色散媒质的FDTD改进方案

刘广东， 张开银， 范士民

（阜阳师范学院物理与电子科学学院，阜阳 236037）

对柯尔－柯尔（Cole-Cole）色散媒质的时域有限差分（FDTD）方案尝试给出改进：（1）保留了Cole-Cole经验公式中的静态电导率项；（2）扩展到三维情形；（3）人体乳房组织的模型参数源于实验测量.数值算例结果初步证实改进方案的可行性和有效性.改进方案适用于模拟更一般柯尔－柯尔色散媒质中的电波传播.

时域有限差分方法；色散媒质；柯尔－柯尔模型

0 引言

时域有限差分（finite-difference time-domain，FDTD）方法首次由Yee于1966年提出［1－2］，近年来已发展成为模拟电波传播的常用工具之一［3－4］.研究表明：生物肌体组织、土壤、岩石、水、等离子体和雷达吸波材料等诸多媒质是频率相关的，一般称为色散媒质［5－6］.自然地，应用FDTD方法处理色散媒质的电磁问题近几年来引起了较多的关注［7－12］.对于色散媒质，德拜（Debye）、洛伦兹（Lorentz）、德鲁（Drude）和柯尔－柯尔（Cole-Cole）等著名的模型被广泛应用于描述其电参数随频率的变化关系［7－8］.为了处理前三种色散媒质的电磁问题，魏兵等人已提出一种通用的FDTD方案［7］.生物电磁频谱特性是生物医学工程领域的基本问题.实验测量结果显示：相比Debye、Lorentz等色散关系，Cole-Cole经验公式最适合建模生物组织的电磁特性［5］.

然而，不同于前三种媒质，差分分数阶导数是FDTD法模拟Cole-Cole媒质电波传播所面临的主要困难［9］.对此，已有两类处理方法：①是Debye近似法，它们需要求解非线性优化问题，不仅耗时，而且容易陷入局部最优［13］；②是Rekanos等人提出的帕德（Padé）近似法，由分数阶导数导出一组整数阶辅助微分方程（auxiliary differential equations，ADEs），便于直接实现FDTD方案［9］.近年来，Rekanos等人忽略建模Cole-Cole色散媒质的经验公式中的静态电导率项，在此基础上，提出了一种FDTD实现方案，并利用假设的模型参数进行了一维（one-dimensional，1－D）数值试验，仿真结果显示该方案理论上是可行性的，还指出有望成为建模生物组织电波传播的一种实用工具［9］.不过，笔者认为，该方案在推广应用之前，还有不少问题值得探讨，如：①根据实验测量数据拟合Cole-Cole模型参数中，一般含有静态电导率项［5］，如何利用这些参数；②针对真实测量数据的仿真性能；③高维情形.

为了更准确地表征Cole-Cole色散媒质的电磁频谱特性，本文改进Rekanos等人的工作［8－9］，保留Cole-Cole经验公式中的静态电导率项，得到一种适用于三维（three-dimensional，3－D）单极或多极、无耗或有耗Cole-Cole色散媒质的FDTD一般实现方案.数值算例中，利用文献［3］中的来自实验测量的人体乳房组织Cole-Cole模型参数，检验了改进方案的性能.

1 辅助微分方程（ADEs）

描述多极Cole-Cole色散媒质空间r点电参数的经验公式为［5］

这里，第w极的相对介电常数之差为Δεw＝εs，w－ε∞．

利用帕德近似，可以将（1）式转换为［14］

其中，系数A、B的具体形式和计算方法参见文献［9］和［14］，M和N为Padé多形式的阶数.数值计算表明：①M＝N是最佳选择（下文统一记为N）；②阶数越高，计算精度越高，复杂度也越高；③当N＝4时，已经可以获得满意的计算精度，本文也取这一结果.这样，（4）式可以简化为

（3）式的第w极的电极化强度Pw相应地转化为［14］

对（6）式应用傅里叶（Fourier）逆变换，可以得到一组（W个）时域辅助微分方程为

其中，w＝1，2，…，W，Pw为第w极的时域电极化强度，E为时域电场.这些辅助微分方程由于包含整数阶时间导数，便于通过有限差分实现离散化.

2 时域有限差分（FDTD）方案

设Cole-Cole色散媒质的导磁系数与频率无关，相对磁导率为μr.结合（2）式，可以得到该媒质中的时域麦克斯韦（Maxwell）方程组为

其中，μ0为自由空间磁导率.

为了方便描述离散化时域矢量F，引入记号

其中，Δt为时间步长.这样，F（适用于Pw和E）的n阶偏导数的中心差分近似为［14］

其中，n＝0，1，2，3，4，ln＝「n／2」表示对n／2上取整，例如，当偏导数的阶数n＝2时，l2＝1，此时m可能取－1、0、1三个值，相应的三个中心差分参数（、、）分别取1.0、－2.0、1.0，类似地，中心差分参数见表1所示.

假定已知iΔt时刻的Pw、E和（i＋1／2）Δt时刻的H，分别差分式（7）、（8），引入辅助变量，经过一些计算、整理，Cole-Cole色散介质中FDTD随时间的推进步骤可简述如下：

1）计算辅助矢量Φw其中［14］

这里，w＝1，2，…，W，ν＝max｛2｜m｜－1，0｝．

2）更新（i＋1）Δt时刻的电场E

3）更新（i＋1）Δt时刻的电极化强度Pw

4）更新（i＋3／2）Δt时刻的磁场H

总结起来，上述FDTD方案的时间步进流程如图1所示.

3 数值算例

由于Cole-Cole模型比Debye、Lorentz等模型更适合描述生物组织电参数的色散特性，对生物组织的FDTD方案可能应用到乳腺癌早期检测等微波医学成像领域［8－10，13－14］.本文的数值算例选择人体乳房组织来检测上述FDTD改进方案的性能.假设各组织的相对磁导率为μr＝1．0．乳房各组织的Cole-Cole模型的电参数取自文献［5］，它们是通过拟合实验测量数据获得，极数取W＝4，各参数具体取值如表2所示.

本文仿真的激励源选取超宽带（ultra-wideband，UWB）调制高斯脉冲［15］其中， ＝100 ps，t0＝4 ，中心频率fc＝3.2 GHz.激励源的波形及频谱如图2所示.可见，该激励源主要包含了10 MHz～10 GHz的频谱范围.在此范围内，各乳房组织的电参数随频率的变化关系如图3所示.可见，乳房各组织是频率相关的，色散效应对FDTD建模的精度有重要影响，不同生物组织的色散特性不尽相同.

3.1 一维（1－D）算例

为了检验上述FDTD方案仿真电磁波在一维（1－D）真实Cole-Cole媒质中的传播，假设有均匀脂类乳房组织充满z≥0的空间.

其中，f、f分别为频率的上下限.在10 MHz～10 GHz的宽频下，图4分别给出、的实部和负虚部的对比

HL情况，其相对均方误差e（）＝2.1%．可见，通过Padé近似来克服差分分数阶导数的困难是合理的.

研究发现：早期乳腺肿瘤尺寸一般在毫米（mm）数量级［15］，这里取FDTD网格尺寸Δz＝1 mm，时间步长Δt＝Δz／（2c0），c0为自由空间光速.采用（16）式所示的调制高斯脉冲激励沿z轴正方向传播且沿x方向极化的平面波.仿真区域右侧采用最简单的吸收边界条件，即Ex（zmax，t＋Δt）＝Ex（zmax－Δz，t）．

仿真期间，分别记下Cole-Cole媒质中任意相邻两个网格的时域电场Ex（z，t）和Ex（z＋Δz，t）．仿真结束后，接着处理这些时域电场：①通过傅里叶变换获得相应频域电场（z，ω）和（z＋Δz，ω）；②分别按照文献［9］的式（34）和（35）计算复波数γ（ω）的实部γRe和虚部γIm；③根据下式计算复相对介电常数的FDTD估计值

3.2 三维（3－D）算例

为了验证上述方案的高维性能，在三维（3－D）直角坐标系下，取如图6所示的简单癌变半球状乳房模型［15］，其中乳房半球半径50 mm，皮肤层厚2 mm，胸壁厚30 mm，两个球状肿瘤1和2的半径均为3 mm，肿瘤1的中心坐标分别为x1＝50 mm、y1＝50 mm和z1＝50 mm，肿瘤2的中心坐标分别为x2＝70 mm、y2＝70 mm和z2＝50 mm.

发射阵列天线取最简单的情形，只有一根天线元，放置于乳房顶部正上方5 mm.接收天线阵列对称放置在乳房中部、平行于胸壁的圆周上，由前后左右4个天线元组成，各天线元距离乳房皮肤层5 mm.产生的后向散射信号被它们同时接收.本文中，忽略了对各天线元具体形状的建模，即视为发射和接收点.为了抑制皮肤层的反射，设乳房模型浸在电参数为εr＝9.0和σ＝0.0 S·m－1的非色散匹配液体中［15］.

FDTD网格尺寸取为Δ＝1 mm×1 mm×1 mm，时间采样步长为Δt＝Δ／（2·c0）．由于计算区域的最外侧是常规的非色散媒质，主FDTD区域周围用8层分裂场完美匹配层（perfectly matched layer，PML）吸收边界截断［1－2］.微波辐照总时间设为3 ns，按照图1所示的计算流程，仿真并存储接4个接收天线的电场分布.其中，各天线记录的0.7 ns～1.7 ns时间段的电场分量Ez如图7所示.

由图7可见，来自皮肤层的散射场的幅度明显强于肿瘤散射幅度，这严重抑制了肿瘤信息的获取，为此，再次仿真了无肿瘤存在时的电场分布，通过作差法［16］提取肿瘤的0.7 ns～3.0 ns时间段和1.4 ns～1.5 ns时间段的电场分量分别如图8和图9所示.相比之下，较浅层的肿瘤1的散射场到达较早，且幅度较强，此外，还存在多重散射.

另外，与几何模型相对应，在第二个纳秒瞬间，通过肿瘤1和2中心的x-y横截面、通过肿瘤1中心的x-z横截面和通过肿瘤2中心的y-z横截面上归一化的电场分量Ez幅度分布的快照分别如图10～图12所示.为了便于比较，图中附加的黑色圆周示意真实肿瘤的轮廓.

综合以上仿真结果发现：1）尽管乳房各组织是有耗媒质，若能有效抑制皮肤层的强散射（例如使用匹配液体［15］），来自肿瘤的微弱散射信号仍然可被检测；2）借助适当的算法（例如共焦成像［16］），肿瘤的尺寸、位置等信息可以被提取；3）本文的FDTD改进方案对模拟3－D乳房组织中的电波传播是可行的.

4 结论

改进了Rekanos等人的FDTD方案.改进后的方案适用于模拟一般的Cole-Cole色散媒质中的电波传播，媒质可以是一维或多维的，可以是单极或多极的，可以是无耗或有耗的.一维和三维的初步数值结果显示：在UWB的频谱范围，该方案具有易实现和较高的数值精度.这为应用到微波医学成像等领域奠定了基础.当然，该方案的可行性和鲁棒性还需经历高级模型、其它媒质、噪声影响等因素的检验，此类问题将另文讨论.

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A Modified FDTD Scheme for Wave Propagation in General Cole-Cole Dispersive Media

LIU Guangdong，ZHANG Kaiyin，FAN Shimin
（College of Physical and Electronic Science，Fuyang Teachers College，Fuyang 236037，China）

For finite-difference time-domain（FDTD）scheme in simulation of electromagnetic wave propagation in Cole-Cole dispersive media.Several improvements are made：（1）preserving a term with static ionic conductivity in Cole-Cole model，which is fit for real Cole-Cole media；（2）extending to three-dimensional（3-D）case；（3）selecting parameters of human breast tissues from experiment.Feasibility and validity of the scheme is preliminarily demonstrated by numerical examples.The modified scheme is propitious to wave propagation in general Cole-Cole dispersive media.

finite-difference time-domain（FDTD）method；frequency-dependent media；Cole-Cole model

date： 2013－06－29；Revised date： 2013－10－11

O441.4

A

1001-246X（2014）03-0363-09

2013－06－29；

2013－10－11

国家自然科学基金（61071022，51271059）、安徽省自然科学基金（1308085MA13）、安徽省科技计划项目（12010302080）和阜阳师范学院重点基金（2011FSKJ01ZD）资助项目

刘广东（1972－），男，江苏灌云，博士，副教授，研究方向为电磁散射和逆散射，E-mail：liu_guang_dong＠126.com