多车种LWR交通流模型的半离散中心迎风格式

胡彦梅， 封建湖， 陈建忠

（1.长安大学理学院，西安 710064；2.西北工业大学自动化学院，西安 710072）

多车种LWR交通流模型的半离散中心迎风格式

胡彦梅1， 封建湖1， 陈建忠2

（1.长安大学理学院，西安 710064；2.西北工业大学自动化学院，西安 710072）

对多车种LWR交通流模型，给出一种半离散中心迎风格式，该格式以五阶WENO-Z重构和半离散中心迎风数值通量为基础.WENO-Z重构方法的引入提高了格式的精度，并保证格式具有基本无振荡的性质.时间的离散采用保持强稳定性的Runge-Kutta方法.通过数值算例验证了格式的有效性.

多车种；LWR交通流模型；半离散中心迎风格式；WENO-Z重构

0 引言

交通流的流体力学模型将交通流视为由大量车辆组成的可压缩连续流体介质，研究车辆集体的平均行为.它的发展始于LWR模型［1－2］，该模型可以描述交通激波的形成以及阻塞的疏散，但假定车辆速度始终满足平衡关系，不能揭示非平衡态的车辆运动，如时走时停、交通迟滞等现象.为了克服LWR模型的不足，研究者提出了高阶模型和多车种模型.多车种模型对每一个车种建立质量守恒方程，同时设定速度－密度函数关系得到模型［3］.

各种多车种LWR模型中，目前研究较多的是Wong和Wong［4］提出的模型，该模型能够模拟拥挤和非拥挤条件下，不同速度车辆之间的相互影响，如超车及慢车阻碍快车行驶等车辆行为.文献［5－6］完整地探讨了该模型的双曲性质，Zhang等［7－8］将该模型推广到非均匀道路上，讨论了流通量间断的多车种LWR模型.

数值模拟方面，Zhang等［9］采用WENO（weighted essentially non-oscillatory）格式［10］、Chen等［11］基于四阶松弛格式［12］、Ngoduy和Liu［13］利用一阶HLLE（Harten-van Leer-Lax and Einfeldt）格式［14］对多车种LWR交通流模型进行了数值求解.Zhang等［9］还对WENO格式与Lax-Friedrichs格式和Godunov格式的计算结果进行了比较，结果表明为了在计算中不丢失解函数的真实信息，需要引入高精度、高分辨率数值方法对交通流模型进行求解.文献［7，15］对非均匀道路的多车种模型进行了数值求解.Zhang等［8］提出了可以与任何经典格式结合的混合格式，即将所谓的δ－映射算法与经典格式结合，形成新的混合格式.他们选择δ－映射与WENO五阶重构结合的混合格式对流通量间断的多车种LWR模型进行数值求解.

本文研究另一类高分辨率数值方法，即半离散中心迎风格式［16］，该格式具有较多优点.首先，不需要进行复杂且耗时的特征分解过程，研究多车种LWR模型的最大困难在于不能得到显式的特征结构［6］.文献［6］证明隐式存在的特征值，但需数值求解隐式的代数方程，计算量很大，即使数值求解得到特征值，在某些密度为0的情形，方程组是非严格双曲的，并不总是能做特征分解，因此半离散中心迎风格式特别适合多车种LWR模型的数值求解.其次，通过对单侧局部速度的估计，该格式考虑了波传播的方向，使得它又具有迎风的性质，这也是该格式被称为中心迎风格式的原因.再次，该格式易于推广，其在Hamilton-Jacobi方程、磁流体方程、两车种LWR模型［17］的计算及多组分流、不可压缩流的模拟等方面得到应用，其在半导体等领域的应用也在不断地发展完善.

本文以五阶WENO-Z［18］重构和保持强稳定性的Runge-Kutta方法为基础［19］，给出一种求解多车种LWR模型的五阶半离散中心迎风格式.与WENO重构方法相比，WENO-Z重构具有更低的数值耗散和更高的分辨率.WENO-Z重构方法的引入既提高了半离散中心迎风格式的精度，又可保证格式是基本无振荡的.最后应用本文格式对排队消散等问题进行数值模拟，并与WENO格式的计算结果进行比较.

1 多车种LWR交通流模型

多车种LWR交通流模型［4］将车辆按其行驶速度分为M个车种，对每一个车种建立质量守恒方程，同时设定速度－密度函数关系得到模型.设ρm（x，t）和um（x，t）分别表示第m种车辆的密度和速度，则多车种LWR模型可表示为

式中u＝［ρ1，ρ2，…，ρM］T，f（u）＝［ρ1u1，ρ2u2，…，ρMuM］T．

为了使方程封闭，引入速度－密度函数关系

假设各车种的速度按从小到大的顺序排列，即

且u满足

由（5）式可知模型（1）为严格双曲型方程组．需要指出的是，对某一种车流的密度ρm＝0以及总密度达到阻塞ρ＝ρjam的情形，不等式（5）可以取等号，详细讨论见文献［6］．

2 多车种LWR模型的半离散中心迎风格式

式中χj是Ij上的特征函数.可能在网格界面｛xj＋1／2｝处间断，估计间断面向左侧和右侧传播的局部速度［16］

半离散中心迎风格式对模型（1）的空间离散可表示为［16］

其中数值通量

半离散中心迎风格式（10）－（11）的精度由重构（6）的精度决定，不同的格式基于不同的重构方法.在各种无振荡重构中，发展较好的是WENO重构方法［10，21］和中心WENO重构方法［22］.本文采用五阶WENO-Z重构［18］，WENO-Z重构是在WENO重构的基础上发展起来的，通过设计高阶的光滑因子，构建无振荡的权，WENO-Z重构比WENO重构具有更低的数值耗散和更高的分辨率.

最后用保持强稳定性的三阶Runge-Kutta方法［19］对半离散格式的时间方向进行离散.

3 数值模拟

算例1 初始扰动问题［5］.考虑长度L＝10 000 m的路段，车种数M取5，各车种的速度－密度关系

式中ufm是第m种车辆的自由流速度，分别取为8，11，14，17，20 m·s－1.将密度、速度、空间和时间变量分别除以ρjam、uf5、L和T进行无量纲化，其中T表示计算的时间.初值取为

算例2 过激波和稀疏波的密度变化［6］.考虑长度L＝8 000 m的路段，车种数M取3，各车种的速度－密度关系

式中ufm分别取为12，16，20 m·s－1，计算时空间步长取10 m，CFL数取0.48，与算例1类似对变量进行无量纲化.初值取

图3（a）和图3（b）分别给出T＝240 s时各车种的密度和总密度.图3中，约在x＝0．26之前的部分为解函数的第1个常数区域.约在x＝0．26至x＝0．64之间为1－稀疏波，在这一区域各车种的密度和车流总密度均单调递减.约在x＝0．64至x＝0．725之间为解函数的第2个常数区域.约在x＝0．725处为2－激波，穿过激波后，第2种和第3种车流的密度有一定的增加，而第1种车流的密度有所减小，车流总密度有所增加.约在x＝0．725至x＝0．78之间为解函数的第3个常数区域.约在x＝0．78处为3-激波，穿过激波后，第3种车流的密度有一定的增加，而第1种和第2种车流的密度有所减小，车流总密度略有增加.约在x＝0．78之后的部分为解函数的第4个常数区域.

上述过激波和在稀疏波内密度单调性变化的模拟结果与文献［6］的理论分析结果一致，同时，通过该算例也验证了本文格式的有效性.

算例3 排队消散问题［4，9］.考虑长度L＝2 km的路段，车种数M取9.左边界设为0 veh·km－1，右边界采用自由出流边界条件.各车种的速度－密度关系为Drake模型［23］的推广：

式中ρ0为最佳密度，取为50 veh·km－1.各车种占混合交通流的比例和自由流速度如图4所示.

情形1.非拥挤交通状态

初始的排队车队如图5所示，最大密度为40 veh·km－1，低于最佳密度ρ0＝50 veh·km－1，交通流处于非拥挤状态.为便于比较，将文献［9－10］中的五阶WENO格式简记为WENO，本文的半离散中心迎风格式简记为SDCU，并用N表示空间网格数目.图6给出两种格式的计算结果，网格剖分为400，CFL数取0.48，计算到T＝0.015 h.图中实线是取12 800个网格点，本文格式的计算结果，可以看作是精确解.图6中车流总密度出现九个小的“台阶”，与初始时九种类型车辆混合相对应，这些小的“台阶”实际上是激波［6，9］.从图6可以看出，本文方法对激波具有较高的分辨率，并且优于WENO格式的计算结果.表1给出T＝0.015 h时刻两种格式的L1误差，当网格点增加时，两种格式计算结果的误差均不断减小，SDCU格式的误差均小于WENO格式.图7给出了不同时刻的总密度图，可以看出排队消散和台阶现象出现的演变过程，在非拥挤状态下车辆可以超车并以期望的速度行驶，所以排队尾部和前部均随时间的推移逐渐消散.

情形2.拥挤交通状态

初始的排队车队如图8所示，最大密度为120 veh·km－1，高于最佳密度ρ0＝50 veh·km－1，交通流处于拥挤状态.图9给出了T＝0.045 h时两种格式的计算结果，可以看出SDCU格式的结果略优于WENO格式.表2对两种格式的L1误差进行了比较，在不同的网格下SDCU格式的误差均小于WENO格式.图10给出不同时刻的总密度图，车辆在拥挤状态下，超车受到限制，所以排队尾部车辆消散是非常有限的，当密度接近最佳密度时，排队尾部车辆逐渐开始消散，当密度低于最佳密度时，车辆处于非拥挤状态，排队消散过程与非拥挤交通状态类似，而排队前部的车辆由于下游没有车辆可以随时间的推移逐渐消散.

4 结论

将WENO-Z重构方法和半离散中心迎风数值通量结合起来，利用半离散中心迎风数值通量简单、实用和WENO-Z重构高精度、基本无振荡的优点，得到了一种求解多车种LWR交通流模型的高分辨率数值方法.对初始扰动问题、过激波和稀疏波的密度变化和排队消散问题进行了数值模拟，并将该方法与WENO格式的计算结果进行比较，结果表明本文方法具有更低的数值耗散和更高的分辨率.也可以将本文格式推广到流通量间断的多车种LWR模型［6］，或尝试将其与δ-映射算法［8］结合求解流通量间断的多车种LWR模型，这方面的进展将在以后的文章中详述.

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A Semi-discrete Central-upwind Scheme for Multi-class Lighthill-Whitham-Richards Traffic Flow Model

HU Yanmei1，FENG Jianhu1，CHEN Jianzhong2
（1．College of Science，Chang'an University，Xi'an 710064，China；2．College of Automation，Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710072，China）

A semi-discrete central-upwind scheme for multi-class Lighthill-Whitham-Richards（LWR）traffic flow model is presented.It combines improved fifth-order weighted essentially non-oscillatory（WENO）reconstruction called WENO-Z with semidiscrete central-upwind numerical flux.WENO-Z reconstruction improves accuracy of solution with non-oscillatory property.Time integration is carried out with strong stability preserving Runge-Kutta method.Numerical results demonstrate the scheme is efficient.

multi-class；LWR traffic flow model；central-upwind scheme；WENO-Z reconstruction

date： 2013－07－03；Revised date： 2013－10－11

O35；O241.82

A

1001-246X（2014）03-0323-08

2013－07－03；

2013－10－11

国家自然科学基金（11102165，11171043），陕西省自然科学基础研究计划（2012JM1001，2013JQ7014），中央高校基本科研业务费专项资金（CHD2011JC039）及西北工业大学基础研究基金（JC201254）资助项目

胡彦梅（1976－），女，博士生，讲师，从事计算流体力学、交通流模型与数值模拟研究，E-mail：yanmeihu＠126.com