直线的参数方程在解题中的应用

吴燕

在新课程标准下，苏教版《数学选修4-4》中安排了直线的参数方程，它是对《数学必修2》第二章平面解析几何初步中直线方程知识的进一步延伸，同时也为研究直线与圆、直线与圆锥曲线的问题提供了另一条途径.数学实践和学生体会表明：用直线的参数方程解决一些问题，有时更方便和简捷，本文通过具体的例子加以说明.

一、计算问题

利用直线参数方程x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t为参数）中参数t的几何意义解决与距离、弦长、线段长、点的坐标有关的问题.

例1：已知直线l过点P（2，0），斜率为■，直线l和抛物线y■=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：（1）|PM|；（2）M点的坐标.

解：（1）设直线的倾斜角为α，依题意可得tanα=■，

∴sinα=■，cosα=■，

∴直线l的参数方程为x=2+■ty=■t（t为参数）（*）.

∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y■=2x中，整理得

8t■-15-50=0且Δ>0.设方程的两个根为t■，t■，∴t■+t■=■，t■t■=-■.

由于M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|=|■| =■.

（2）∵中点M所对应的参数为t■=■=■，将此值代入直线的参数方程（*），

点M的坐标为x=2+■×■=■y=■×■=■，M（■，■）即为所求.

一般地，直线x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t为参数）与曲线y=f（x）交于A，B两点，对应的参数分别为t■、t■，则线段|AB|的中点M对应的参数t=■.

由t的几何意义得|PA|+|PB|=|t■|+|t■|=t■+t■=3■.

一般地，直线与二次曲线相交，用直线参数方程解题时，则有弦长为|t■-t■|；直线上的点P到两交点的距离和为|t■|+|t■|，距离涉及t的正负时要加以区分.

因为，直线参数方程的标准方程中含有三角函数cosα，sinα（α是直线的倾斜角），所以，在解决直线与圆锥曲线有关问题时，可以将其转化为三角函数问题解决，体现了转化、化归的数学思想，达到数学知识的综合运用，在解高考数学试题时也有用武之地.下面我们以高考题为例加以说明.

二、范围问题

求参数的取值范围，是高考的热点和难点问题，由于求参数范围的方法众多，如何选择往往成为考生思考的难点.如果选择直线的参数方程，利用三角函数的值域求解，则比较简单.

例2（2008年高考福建卷理科第21题）：如图，椭圆■+■=1（a>b>0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，恒有|OA|■+|OB|■<|AB|■，求a的取值范围.

解：（Ⅰ）略，椭圆方程为■+■=1.

（Ⅱ）设直线AB的参数方程为x=1+tcosθy=tsinθ（t为参数），代入■+■=1得

（b■cos■θ+a■sin■θ）t■+2b■cosθt+b■-a■b■=0.

设上述方程的两根为t■，t■，由韦达定理知：

t■+t■=-■t■t■=■①

根据t的几何意义，不妨设|FA|=t■，则|FB|=-t■，|AB|=t■-t■，

又设A（1+t■cosθ，t■sinθ），B（1+t■cosθ，t■sinθ），

∵|OA|■+|OB|■<|AB|■恒成立，

∴（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■+（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■<（t■-t■）■，

化简得：1+（t■+t■）cosθ+t■t■<0，把①式代入得

1-■+■<0，

∴■<0，

显然有a■sin■θ-b■cos■θ+b■-a■b■<0，

即（a■+b■）sin■θ-a■b■<0，

∴■>sin■θ恒成立，

∵sinθ∈[0，1]，

∴■>1，②

∵椭圆的一个焦点F（1，0），∴C=1，b■=a■-c■=a■-1③

由②，③得a■

因为a>0，b>0，所以a0，

解得a>■或a<■（舍去），即a>■.

本例在解题中，充分发挥了直线参数方程在解题中的优势（参数的几何意义、三角函数变换），由恒成立问题、三角函数的值域，巧妙地利用椭圆中a、b、c的关系实施转化，得到了关于a的二次不等式使问题获解，解题目标明确，思路清晰，方法可行.

三、证明问题

例3（2013年全国理科高考卷第21题）：已知双曲线C：■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F■，F■，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为■.

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）设过F■的直线l与C的左、右两支分别相交于A，B两点，且 |AF■|=|BF■|，证明：|AF■|，|AB|，|BF■|成等比数列.

解：（Ⅰ）易得a=1，b=2■，c=3，双曲线方程为x■-■=1.

（Ⅱ）如图，∵F■（3，0）

∴设过F■的直线为x=3+tcosκy=tsinα（t为参数）

其中|AF■|=-t■，|BF■|=-t■，

|AB|=|AF■|-|BF■|=|AF■|+2a-|BF■|+2a=4a=4，即-t■+t■=4①

将直线参数方程代入双曲线方程，得8（3+tcosθ）■-t■sin■θ=8，化简得

（9cos■θ-1）t■+48cosθ·t+64=0.

由韦达定理知，

t■+t■=■，t■t■=■.

由①式知|AB|=|t■-t■|=4，

∴|AB|■=16②

另一方面，

（t■-t■）■=（t■+t■）■-4t■t■=（■）■-4×■=16，解得cos■θ=■.

∴|AF■|·|BF■|=t■t■=■=16③

由②③知，|AF■|·|BF■|=|AB|■，即|AF■|，|AB|，|BF■|成等比数列.

该题的常规解题思路有两种：（1）涉及直线与圆锥曲线综合问题时，就是联立方程组用韦达定理求解，该思路清晰，但因其运算量较大，学生常常望而生畏.特别用该方法求|AF■|、 |AF■|、|BF■|、|BF■|时还需用到两点间距离公式，无疑运算量又会增大.（2）涉及在求|AF■|、|AF■|、|BF■|、|BF■|时可以用双曲线的焦半径公式，但这又超出考试大纲的要求.而利用直线参数方程求解，简洁明快，是一种较好的选择.

在新课程标准下，苏教版《数学选修4-4》中安排了直线的参数方程，它是对《数学必修2》第二章平面解析几何初步中直线方程知识的进一步延伸，同时也为研究直线与圆、直线与圆锥曲线的问题提供了另一条途径.数学实践和学生体会表明：用直线的参数方程解决一些问题，有时更方便和简捷，本文通过具体的例子加以说明.

一、计算问题

利用直线参数方程x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t为参数）中参数t的几何意义解决与距离、弦长、线段长、点的坐标有关的问题.

例1：已知直线l过点P（2，0），斜率为■，直线l和抛物线y■=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：（1）|PM|；（2）M点的坐标.

解：（1）设直线的倾斜角为α，依题意可得tanα=■，

∴sinα=■，cosα=■，

∴直线l的参数方程为x=2+■ty=■t（t为参数）（*）.

∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y■=2x中，整理得

8t■-15-50=0且Δ>0.设方程的两个根为t■，t■，∴t■+t■=■，t■t■=-■.

由于M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|=|■| =■.

（2）∵中点M所对应的参数为t■=■=■，将此值代入直线的参数方程（*），

点M的坐标为x=2+■×■=■y=■×■=■，M（■，■）即为所求.

一般地，直线x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t为参数）与曲线y=f（x）交于A，B两点，对应的参数分别为t■、t■，则线段|AB|的中点M对应的参数t=■.

由t的几何意义得|PA|+|PB|=|t■|+|t■|=t■+t■=3■.

一般地，直线与二次曲线相交，用直线参数方程解题时，则有弦长为|t■-t■|；直线上的点P到两交点的距离和为|t■|+|t■|，距离涉及t的正负时要加以区分.

因为，直线参数方程的标准方程中含有三角函数cosα，sinα（α是直线的倾斜角），所以，在解决直线与圆锥曲线有关问题时，可以将其转化为三角函数问题解决，体现了转化、化归的数学思想，达到数学知识的综合运用，在解高考数学试题时也有用武之地.下面我们以高考题为例加以说明.

二、范围问题

求参数的取值范围，是高考的热点和难点问题，由于求参数范围的方法众多，如何选择往往成为考生思考的难点.如果选择直线的参数方程，利用三角函数的值域求解，则比较简单.

例2（2008年高考福建卷理科第21题）：如图，椭圆■+■=1（a>b>0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，恒有|OA|■+|OB|■<|AB|■，求a的取值范围.

解：（Ⅰ）略，椭圆方程为■+■=1.

（Ⅱ）设直线AB的参数方程为x=1+tcosθy=tsinθ（t为参数），代入■+■=1得

（b■cos■θ+a■sin■θ）t■+2b■cosθt+b■-a■b■=0.

设上述方程的两根为t■，t■，由韦达定理知：

t■+t■=-■t■t■=■①

根据t的几何意义，不妨设|FA|=t■，则|FB|=-t■，|AB|=t■-t■，

又设A（1+t■cosθ，t■sinθ），B（1+t■cosθ，t■sinθ），

∵|OA|■+|OB|■<|AB|■恒成立，

∴（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■+（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■<（t■-t■）■，

化简得：1+（t■+t■）cosθ+t■t■<0，把①式代入得

1-■+■<0，

∴■<0，

显然有a■sin■θ-b■cos■θ+b■-a■b■<0，

即（a■+b■）sin■θ-a■b■<0，

∴■>sin■θ恒成立，

∵sinθ∈[0，1]，

∴■>1，②

∵椭圆的一个焦点F（1，0），∴C=1，b■=a■-c■=a■-1③

由②，③得a■

因为a>0，b>0，所以a0，

解得a>■或a<■（舍去），即a>■.

本例在解题中，充分发挥了直线参数方程在解题中的优势（参数的几何意义、三角函数变换），由恒成立问题、三角函数的值域，巧妙地利用椭圆中a、b、c的关系实施转化，得到了关于a的二次不等式使问题获解，解题目标明确，思路清晰，方法可行.

三、证明问题

例3（2013年全国理科高考卷第21题）：已知双曲线C：■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F■，F■，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为■.

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）设过F■的直线l与C的左、右两支分别相交于A，B两点，且 |AF■|=|BF■|，证明：|AF■|，|AB|，|BF■|成等比数列.

解：（Ⅰ）易得a=1，b=2■，c=3，双曲线方程为x■-■=1.

（Ⅱ）如图，∵F■（3，0）

∴设过F■的直线为x=3+tcosκy=tsinα（t为参数）

其中|AF■|=-t■，|BF■|=-t■，

|AB|=|AF■|-|BF■|=|AF■|+2a-|BF■|+2a=4a=4，即-t■+t■=4①

将直线参数方程代入双曲线方程，得8（3+tcosθ）■-t■sin■θ=8，化简得

（9cos■θ-1）t■+48cosθ·t+64=0.

由韦达定理知，

t■+t■=■，t■t■=■.

由①式知|AB|=|t■-t■|=4，

∴|AB|■=16②

另一方面，

（t■-t■）■=（t■+t■）■-4t■t■=（■）■-4×■=16，解得cos■θ=■.

∴|AF■|·|BF■|=t■t■=■=16③

由②③知，|AF■|·|BF■|=|AB|■，即|AF■|，|AB|，|BF■|成等比数列.

该题的常规解题思路有两种：（1）涉及直线与圆锥曲线综合问题时，就是联立方程组用韦达定理求解，该思路清晰，但因其运算量较大，学生常常望而生畏.特别用该方法求|AF■|、 |AF■|、|BF■|、|BF■|时还需用到两点间距离公式，无疑运算量又会增大.（2）涉及在求|AF■|、|AF■|、|BF■|、|BF■|时可以用双曲线的焦半径公式，但这又超出考试大纲的要求.而利用直线参数方程求解，简洁明快，是一种较好的选择.

在新课程标准下，苏教版《数学选修4-4》中安排了直线的参数方程，它是对《数学必修2》第二章平面解析几何初步中直线方程知识的进一步延伸，同时也为研究直线与圆、直线与圆锥曲线的问题提供了另一条途径.数学实践和学生体会表明：用直线的参数方程解决一些问题，有时更方便和简捷，本文通过具体的例子加以说明.

一、计算问题

利用直线参数方程x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t为参数）中参数t的几何意义解决与距离、弦长、线段长、点的坐标有关的问题.

例1：已知直线l过点P（2，0），斜率为■，直线l和抛物线y■=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：（1）|PM|；（2）M点的坐标.

解：（1）设直线的倾斜角为α，依题意可得tanα=■，

∴sinα=■，cosα=■，

∴直线l的参数方程为x=2+■ty=■t（t为参数）（*）.

∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y■=2x中，整理得

8t■-15-50=0且Δ>0.设方程的两个根为t■，t■，∴t■+t■=■，t■t■=-■.

由于M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|=|■| =■.

（2）∵中点M所对应的参数为t■=■=■，将此值代入直线的参数方程（*），

点M的坐标为x=2+■×■=■y=■×■=■，M（■，■）即为所求.

一般地，直线x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t为参数）与曲线y=f（x）交于A，B两点，对应的参数分别为t■、t■，则线段|AB|的中点M对应的参数t=■.

由t的几何意义得|PA|+|PB|=|t■|+|t■|=t■+t■=3■.

一般地，直线与二次曲线相交，用直线参数方程解题时，则有弦长为|t■-t■|；直线上的点P到两交点的距离和为|t■|+|t■|，距离涉及t的正负时要加以区分.

因为，直线参数方程的标准方程中含有三角函数cosα，sinα（α是直线的倾斜角），所以，在解决直线与圆锥曲线有关问题时，可以将其转化为三角函数问题解决，体现了转化、化归的数学思想，达到数学知识的综合运用，在解高考数学试题时也有用武之地.下面我们以高考题为例加以说明.

二、范围问题

求参数的取值范围，是高考的热点和难点问题，由于求参数范围的方法众多，如何选择往往成为考生思考的难点.如果选择直线的参数方程，利用三角函数的值域求解，则比较简单.

例2（2008年高考福建卷理科第21题）：如图，椭圆■+■=1（a>b>0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，恒有|OA|■+|OB|■<|AB|■，求a的取值范围.

解：（Ⅰ）略，椭圆方程为■+■=1.

（Ⅱ）设直线AB的参数方程为x=1+tcosθy=tsinθ（t为参数），代入■+■=1得

（b■cos■θ+a■sin■θ）t■+2b■cosθt+b■-a■b■=0.

设上述方程的两根为t■，t■，由韦达定理知：

t■+t■=-■t■t■=■①

根据t的几何意义，不妨设|FA|=t■，则|FB|=-t■，|AB|=t■-t■，

又设A（1+t■cosθ，t■sinθ），B（1+t■cosθ，t■sinθ），

∵|OA|■+|OB|■<|AB|■恒成立，

∴（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■+（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■<（t■-t■）■，

化简得：1+（t■+t■）cosθ+t■t■<0，把①式代入得

1-■+■<0，

∴■<0，

显然有a■sin■θ-b■cos■θ+b■-a■b■<0，

即（a■+b■）sin■θ-a■b■<0，

∴■>sin■θ恒成立，

∵sinθ∈[0，1]，

∴■>1，②

∵椭圆的一个焦点F（1，0），∴C=1，b■=a■-c■=a■-1③

由②，③得a■

因为a>0，b>0，所以a0，

解得a>■或a<■（舍去），即a>■.

本例在解题中，充分发挥了直线参数方程在解题中的优势（参数的几何意义、三角函数变换），由恒成立问题、三角函数的值域，巧妙地利用椭圆中a、b、c的关系实施转化，得到了关于a的二次不等式使问题获解，解题目标明确，思路清晰，方法可行.

三、证明问题

例3（2013年全国理科高考卷第21题）：已知双曲线C：■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F■，F■，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为■.

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）设过F■的直线l与C的左、右两支分别相交于A，B两点，且 |AF■|=|BF■|，证明：|AF■|，|AB|，|BF■|成等比数列.

解：（Ⅰ）易得a=1，b=2■，c=3，双曲线方程为x■-■=1.

（Ⅱ）如图，∵F■（3，0）

∴设过F■的直线为x=3+tcosκy=tsinα（t为参数）

其中|AF■|=-t■，|BF■|=-t■，

|AB|=|AF■|-|BF■|=|AF■|+2a-|BF■|+2a=4a=4，即-t■+t■=4①

将直线参数方程代入双曲线方程，得8（3+tcosθ）■-t■sin■θ=8，化简得

（9cos■θ-1）t■+48cosθ·t+64=0.

由韦达定理知，

t■+t■=■，t■t■=■.

由①式知|AB|=|t■-t■|=4，

∴|AB|■=16②

另一方面，

（t■-t■）■=（t■+t■）■-4t■t■=（■）■-4×■=16，解得cos■θ=■.

∴|AF■|·|BF■|=t■t■=■=16③

由②③知，|AF■|·|BF■|=|AB|■，即|AF■|，|AB|，|BF■|成等比数列.

该题的常规解题思路有两种：（1）涉及直线与圆锥曲线综合问题时，就是联立方程组用韦达定理求解，该思路清晰，但因其运算量较大，学生常常望而生畏.特别用该方法求|AF■|、 |AF■|、|BF■|、|BF■|时还需用到两点间距离公式，无疑运算量又会增大.（2）涉及在求|AF■|、|AF■|、|BF■|、|BF■|时可以用双曲线的焦半径公式，但这又超出考试大纲的要求.而利用直线参数方程求解，简洁明快，是一种较好的选择.