立体几何复习之易错题点评

洪其强

1. 考虑问题不全面而出错

点评：虽然SB与CD所成的角为60°，且ME//AB，MF//CD，但∠EMF不一定就是60°，也有可能是120°，也就是说∠EMF或它的补角才是AB与CD所成的角，因此以上的解法不全面，当异面直线所成的角转移到两直线的“交角”时，小于或等于90°的“交角”才是异面直线所成的角，受图形的限制，我们看不出哪一个“交角”会小于或等于90°，因此必须分情况讨论或以计算结果来判定.

正解：可将四面体ABCD放回长方体内，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线，在此背景下，长方体的长，宽，高分别为x，y，z，则①需要满足x=y=z才能成立；因为各个面都是全等的三角形（由对棱相等易证），则②正确；正四面体的同一顶点处三个角之和为180°，事实上各个面都是全等的三角形，对应三个角之和一定恒等于180°，③显然不成立；由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断④正确；每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，⑤显然成立.

故选②④⑤.

点评：（1）正确作出图形，利于分析解决问题.（2）空间中的点、直线、平面的位置关系，与平面中的点、直线、平面的位置关系是不同的，空间中三者之间的位置关系要复杂的多.特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断.

2. 乱套平面几何中的结论到立体几何中来而出错

9. 因三视图识图不准而出错

例12. 将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）

错解：答案A或D.致错原因是根据提示观测位置确定三视图时其实质是正投影，将几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线，错选A或D都是没有抓住看到的轮廓线在面上的投影位置，从而导致失误.

正解：还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线.故选B.

点评：（1）在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线，并做到“正侧一样高，正俯一样长、俯侧一样宽”.（2）在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.

（作者单位：贵州省龙里中学）

责任编校 徐国坚endprint

1. 考虑问题不全面而出错

点评：虽然SB与CD所成的角为60°，且ME//AB，MF//CD，但∠EMF不一定就是60°，也有可能是120°，也就是说∠EMF或它的补角才是AB与CD所成的角，因此以上的解法不全面，当异面直线所成的角转移到两直线的“交角”时，小于或等于90°的“交角”才是异面直线所成的角，受图形的限制，我们看不出哪一个“交角”会小于或等于90°，因此必须分情况讨论或以计算结果来判定.

正解：可将四面体ABCD放回长方体内，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线，在此背景下，长方体的长，宽，高分别为x，y，z，则①需要满足x=y=z才能成立；因为各个面都是全等的三角形（由对棱相等易证），则②正确；正四面体的同一顶点处三个角之和为180°，事实上各个面都是全等的三角形，对应三个角之和一定恒等于180°，③显然不成立；由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断④正确；每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，⑤显然成立.

故选②④⑤.

点评：（1）正确作出图形，利于分析解决问题.（2）空间中的点、直线、平面的位置关系，与平面中的点、直线、平面的位置关系是不同的，空间中三者之间的位置关系要复杂的多.特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断.

2. 乱套平面几何中的结论到立体几何中来而出错

9. 因三视图识图不准而出错

例12. 将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）

错解：答案A或D.致错原因是根据提示观测位置确定三视图时其实质是正投影，将几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线，错选A或D都是没有抓住看到的轮廓线在面上的投影位置，从而导致失误.

正解：还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线.故选B.

点评：（1）在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线，并做到“正侧一样高，正俯一样长、俯侧一样宽”.（2）在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.

（作者单位：贵州省龙里中学）

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1. 考虑问题不全面而出错

点评：虽然SB与CD所成的角为60°，且ME//AB，MF//CD，但∠EMF不一定就是60°，也有可能是120°，也就是说∠EMF或它的补角才是AB与CD所成的角，因此以上的解法不全面，当异面直线所成的角转移到两直线的“交角”时，小于或等于90°的“交角”才是异面直线所成的角，受图形的限制，我们看不出哪一个“交角”会小于或等于90°，因此必须分情况讨论或以计算结果来判定.

正解：可将四面体ABCD放回长方体内，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线，在此背景下，长方体的长，宽，高分别为x，y，z，则①需要满足x=y=z才能成立；因为各个面都是全等的三角形（由对棱相等易证），则②正确；正四面体的同一顶点处三个角之和为180°，事实上各个面都是全等的三角形，对应三个角之和一定恒等于180°，③显然不成立；由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断④正确；每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，⑤显然成立.

故选②④⑤.

点评：（1）正确作出图形，利于分析解决问题.（2）空间中的点、直线、平面的位置关系，与平面中的点、直线、平面的位置关系是不同的，空间中三者之间的位置关系要复杂的多.特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断.

2. 乱套平面几何中的结论到立体几何中来而出错

9. 因三视图识图不准而出错

例12. 将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）

错解：答案A或D.致错原因是根据提示观测位置确定三视图时其实质是正投影，将几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线，错选A或D都是没有抓住看到的轮廓线在面上的投影位置，从而导致失误.

正解：还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线.故选B.

点评：（1）在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线，并做到“正侧一样高，正俯一样长、俯侧一样宽”.（2）在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.

（作者单位：贵州省龙里中学）

责任编校 徐国坚endprint