抛物线动点问题探究

宋娜

抛物线动点问题是最近几年中考的一个热点题型，中考常将抛物线的动点问题作为压轴题出现。所谓“抛物线动点问题”，是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在抛物线上运动的一类开放性题目。解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题，结合已经学过的平面图形的性质，再根据已知条件找出动点的运动规律进行求解。既然是动点，能否用运动的观点来解决呢？下面用几个例子来探究怎样用运动的观点解决此类问题。

例1：如图1，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点。（1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面積最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。

分析：（1）由A、B点坐标可求出抛物线解析式：y=-x2-2x+3. （2）由题知点B（-3，0），点C（0，3），点P是第二象限的抛物线上的点，△PBC的面积最大值，也就是取决于动点P的位置。

若过点P做x轴的垂线交BC于点G，交x轴于H，则可将△PBC分成两个同底的三角形，分别为△PGB与△PGC，同时这两个三角形的高可以平移到x轴上，则S△PBC=S△PGB+S△PGC=■PG×BG+■PG×OG=■PG（BG+OG）=■PG×OB. 题中OB的长度是确定的，也就转化成求PG的最大值。而PG的长度可由P点的纵坐标和G点的纵坐标的差求得，可设P点的横坐标是x，则P（x，-x2-2x+3），G点的横坐标也是x，而直线BC解析式可由点B、C求得y=x+3. 所以，G（x，x+3），则PG=（-x2-2x+3）-（x+3）=-x2-3x=-（x+■）2+■，可见当P（■，■），△PBC的面积最大。此方法适用于在抛物线上寻找一点与已知点构成的三角形面积最大。

另解：（篇幅所限，略）。

例2：如图2，抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。

分析：（1）令y=0，得出A（-1，0），）B（3，0），C（2，-3），直线AC：y=-x-1.（2）此问可以这样分类考虑，以A、C、F、G四点为顶点的四边形为平行四边形，在图中已经存在一条线段AC，分别以AC为对角线和一条边来考虑。当AC为对角线时，如图3，此时CG//x轴，由平行四边形对边平行且相等，G点的纵坐标与C点的纵坐标相同，都是-3， 点G1坐标为（0，-3）。可见，G点向右平移了两个单位得到C点，同样A点向右平移两个单位得到F1点，即F1（1，0）。

当AC为平行四边形的一条边时候，如图4，AC的对边FG可看作由AC平移得到，C点对应点为F.由于C点纵坐标是-3，F点纵坐标是0，所以F点由C向上平移3个单位，同样G点由A点向上平移3个单位，A点纵坐标是0，则G点的纵坐标为3。所以，当y=3时，抛物线y=x2-2x-3对应的点可求为G2（1+■，3），G3（1-■）。当G2（1+■，3）是由A（-1，0）向右平移2+■个单位得到，同样C点向右平移2+■个单位得到2+（2+■）=4+■，F2（4+■，0）；当G3（1-■，3）是由A（-1，0）向左平移-1-（1-■）=-2+■个单位得到，同样C点向左平移-2+■得到2-（-2+■）=4-■，F3（4-■）.

如图5，可将AC向下平移，此时CG//x轴，C、G关于对称轴x=1对称，则G（0，-3），即C（2，-3）点向左平移两个单位，同样A（-1，0）向左平移两个单位得到F4（-3，0）.

【解题策略】动点产生的平行四边形问题：一般已知两个点，其他两点具有一定的条件限制，判断是否存在满足该条件并能够成平行四边形的点；或已知三个点，问是否存在第四个点使这四个点所构成的四边形为平行四边形。此时，要先利用平行四边形的性质确定点的存在性，然后分情况讨论，再观察计算平移的方向和距离。由此例题可见，画图这一步很重要，因为随着点（线）的移动，与之相关的一些图形肯定随着改变，而且点（线）平移到不同的位置，我们要研究的图形可能会改变，同时可以考虑到多种情况，不容易漏解。所以，一定要画图，不能凭空想象。

（辽宁省瓦房店市第三初级中学）