解决二次根式问题中的数学思想方法

曹洪

数学思想方法是解决数学问题的金钥匙，在解决二次根式的有关问题时，常用到如下几种数学思想方法。

一、方程思想

例1 （2013年四川省攀枝花市中考题）已知实数x，y，m满足■

+|3x+y+m|=0，且y为负数，则m的取值范围是（ ）

A.m>6 B.m<6 C.m>-6 D.m<-6

解析 由二次根式、绝对值的非负性，结合非负数的性质可知，■=0，

|3x+y+m|=0。

即x+2=0，3x+y+m=0。

解得x=-2，y=6-m。

因为y为负数，则有6-m<0，解得m>6。故答案选A。

点评 本题利用二次根式的非负性和非负数的性质，通过列方程（组）来解决问题。非负数（如绝对值、偶次方、算术平方根）是具有特殊性质的数，如果一个等式中有两个未知数，利用非负数的性质构造方程（组）求出未知数是一种常用的解题策略。

二、类比思想

例2 （1）（2013年内蒙古自治区包头市中考题）计算■-3■+■=_____；

（2）（2013年湖北省荆州市中考题）计算4■+3■-■的结果是（ ）

A.■+■ B.■ C.■ D.■-■

解析 先把二次根式化简为最简二次根式，再合并同类项进行计算。

（1）原式=2■-■+■=■；

（2）原式=2■+■-2■=■，故答案选B。

点评 二次根式的加减运算可以类比整式加减中的合并同类项来进行，二次根式的加减运算就是合并同类二次根式。必须注意，只有同类二次根式才能合并，不是同类二次根式的不可以合并，其结果可以不含二次根式。根据二次根式的性质，正确化简各二次根式是顺利进行二次根式加减运算的有力保证。

三、整体思想

例3 （2013年四川省德阳市中考题）若■+b2-2b+1=0，则

a2+■-|b|=______。

解析 先利用非负数的性质可知，a2-3a+1=0和b2-2b+1=0，由此求出

a+■和b的值，然后利用完全平方公式求出结果。

因为■+b2-2b+1=0，所以■+（b-1）2=0。所以a2-3a+1=0且b=1，所以a-3+■=0，即a+■=3，所以■=32，化简得 a2+■=7，所以a2+■-|b|=7-1=6。

点评 在处理问题时，从整体角度思考，即将局部放在整体中去观察分析，往往可简捷巧妙地解决问题。

四、分类思想

例4 （2013年广东省珠海市中考题）阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2■=（1+■）2。善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b■=（m+n■）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b■=m2+2n2+2mn■。

所以a=m2+2n2，b=2mn。这样小明就找到了一种把类似a+b■的式子化为平方式的方法。

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b■=（m+n■）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=____，b=____；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：____+____■=（____+____■）2；

（3）若a+4■=（m+n■）2，且a、m、n均为正整数，求a的值。

解析 （1）根据完全平方公式运算法则，可得出a、b的表达式。因为a+b■=（m+n■）2，所以a+b■=m2+3n2+2mn■，所以a=m2+3n2，b=2mn；

（2）设m=1，n=1，所以a=m2+3n2=4，b=2mn=2。故答案分别为4、2、1、1；

（3）由题意得，a=m2+3n2，b=2mn。因为4=2mn，且m、n为正整数，所以m=2，n=1或者m=1，n=2，所以a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13。

点评 本题主要考查二次根式的混合运算、完全平方公式等知识。以阅读理解题的形式出现，又考查了对材料的准确分析、模仿和转化能力以及分类讨论思想方法的应用。

数学思想方法是解决数学问题的金钥匙，在解决二次根式的有关问题时，常用到如下几种数学思想方法。

一、方程思想

例1 （2013年四川省攀枝花市中考题）已知实数x，y，m满足■

+|3x+y+m|=0，且y为负数，则m的取值范围是（ ）

A.m>6 B.m<6 C.m>-6 D.m<-6

解析 由二次根式、绝对值的非负性，结合非负数的性质可知，■=0，

|3x+y+m|=0。

即x+2=0，3x+y+m=0。

解得x=-2，y=6-m。

因为y为负数，则有6-m<0，解得m>6。故答案选A。

点评 本题利用二次根式的非负性和非负数的性质，通过列方程（组）来解决问题。非负数（如绝对值、偶次方、算术平方根）是具有特殊性质的数，如果一个等式中有两个未知数，利用非负数的性质构造方程（组）求出未知数是一种常用的解题策略。

二、类比思想

例2 （1）（2013年内蒙古自治区包头市中考题）计算■-3■+■=_____；

（2）（2013年湖北省荆州市中考题）计算4■+3■-■的结果是（ ）

A.■+■ B.■ C.■ D.■-■

解析 先把二次根式化简为最简二次根式，再合并同类项进行计算。

（1）原式=2■-■+■=■；

（2）原式=2■+■-2■=■，故答案选B。

点评 二次根式的加减运算可以类比整式加减中的合并同类项来进行，二次根式的加减运算就是合并同类二次根式。必须注意，只有同类二次根式才能合并，不是同类二次根式的不可以合并，其结果可以不含二次根式。根据二次根式的性质，正确化简各二次根式是顺利进行二次根式加减运算的有力保证。

三、整体思想

例3 （2013年四川省德阳市中考题）若■+b2-2b+1=0，则

a2+■-|b|=______。

解析 先利用非负数的性质可知，a2-3a+1=0和b2-2b+1=0，由此求出

a+■和b的值，然后利用完全平方公式求出结果。

因为■+b2-2b+1=0，所以■+（b-1）2=0。所以a2-3a+1=0且b=1，所以a-3+■=0，即a+■=3，所以■=32，化简得 a2+■=7，所以a2+■-|b|=7-1=6。

点评 在处理问题时，从整体角度思考，即将局部放在整体中去观察分析，往往可简捷巧妙地解决问题。

四、分类思想

例4 （2013年广东省珠海市中考题）阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2■=（1+■）2。善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b■=（m+n■）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b■=m2+2n2+2mn■。

所以a=m2+2n2，b=2mn。这样小明就找到了一种把类似a+b■的式子化为平方式的方法。

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b■=（m+n■）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=____，b=____；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：____+____■=（____+____■）2；

（3）若a+4■=（m+n■）2，且a、m、n均为正整数，求a的值。

解析 （1）根据完全平方公式运算法则，可得出a、b的表达式。因为a+b■=（m+n■）2，所以a+b■=m2+3n2+2mn■，所以a=m2+3n2，b=2mn；

（2）设m=1，n=1，所以a=m2+3n2=4，b=2mn=2。故答案分别为4、2、1、1；

（3）由题意得，a=m2+3n2，b=2mn。因为4=2mn，且m、n为正整数，所以m=2，n=1或者m=1，n=2，所以a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13。

点评 本题主要考查二次根式的混合运算、完全平方公式等知识。以阅读理解题的形式出现，又考查了对材料的准确分析、模仿和转化能力以及分类讨论思想方法的应用。

数学思想方法是解决数学问题的金钥匙，在解决二次根式的有关问题时，常用到如下几种数学思想方法。

一、方程思想

例1 （2013年四川省攀枝花市中考题）已知实数x，y，m满足■

+|3x+y+m|=0，且y为负数，则m的取值范围是（ ）

A.m>6 B.m<6 C.m>-6 D.m<-6

解析 由二次根式、绝对值的非负性，结合非负数的性质可知，■=0，

|3x+y+m|=0。

即x+2=0，3x+y+m=0。

解得x=-2，y=6-m。

因为y为负数，则有6-m<0，解得m>6。故答案选A。

点评 本题利用二次根式的非负性和非负数的性质，通过列方程（组）来解决问题。非负数（如绝对值、偶次方、算术平方根）是具有特殊性质的数，如果一个等式中有两个未知数，利用非负数的性质构造方程（组）求出未知数是一种常用的解题策略。

二、类比思想

例2 （1）（2013年内蒙古自治区包头市中考题）计算■-3■+■=_____；

（2）（2013年湖北省荆州市中考题）计算4■+3■-■的结果是（ ）

A.■+■ B.■ C.■ D.■-■

解析 先把二次根式化简为最简二次根式，再合并同类项进行计算。

（1）原式=2■-■+■=■；

（2）原式=2■+■-2■=■，故答案选B。

点评 二次根式的加减运算可以类比整式加减中的合并同类项来进行，二次根式的加减运算就是合并同类二次根式。必须注意，只有同类二次根式才能合并，不是同类二次根式的不可以合并，其结果可以不含二次根式。根据二次根式的性质，正确化简各二次根式是顺利进行二次根式加减运算的有力保证。

三、整体思想

例3 （2013年四川省德阳市中考题）若■+b2-2b+1=0，则

a2+■-|b|=______。

解析 先利用非负数的性质可知，a2-3a+1=0和b2-2b+1=0，由此求出

a+■和b的值，然后利用完全平方公式求出结果。

因为■+b2-2b+1=0，所以■+（b-1）2=0。所以a2-3a+1=0且b=1，所以a-3+■=0，即a+■=3，所以■=32，化简得 a2+■=7，所以a2+■-|b|=7-1=6。

点评 在处理问题时，从整体角度思考，即将局部放在整体中去观察分析，往往可简捷巧妙地解决问题。

四、分类思想

例4 （2013年广东省珠海市中考题）阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2■=（1+■）2。善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b■=（m+n■）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b■=m2+2n2+2mn■。

所以a=m2+2n2，b=2mn。这样小明就找到了一种把类似a+b■的式子化为平方式的方法。

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b■=（m+n■）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=____，b=____；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：____+____■=（____+____■）2；

（3）若a+4■=（m+n■）2，且a、m、n均为正整数，求a的值。

解析 （1）根据完全平方公式运算法则，可得出a、b的表达式。因为a+b■=（m+n■）2，所以a+b■=m2+3n2+2mn■，所以a=m2+3n2，b=2mn；

（2）设m=1，n=1，所以a=m2+3n2=4，b=2mn=2。故答案分别为4、2、1、1；

（3）由题意得，a=m2+3n2，b=2mn。因为4=2mn，且m、n为正整数，所以m=2，n=1或者m=1，n=2，所以a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13。

点评 本题主要考查二次根式的混合运算、完全平方公式等知识。以阅读理解题的形式出现，又考查了对材料的准确分析、模仿和转化能力以及分类讨论思想方法的应用。