构造三角形中位线解圆锥曲线问题

蒋玉清

众所周知，三角形中位线是平面几何中的一个重要定理，近年高考题往往涉及圆锥曲线和平面几何的综合，如果在处理这类圆锥曲线问题中，利用坐标原点是两焦点的中点，巧妙构造三角形中位线，揭示其几何特征，通常能取到事半功倍的效果。

一、？摇求圆锥曲线的离心率

通过圆锥曲线的中心是连接两焦点线段的中点，构造三角形中位线，建立方程，得到几何量之间的关系。

例1 已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点A，则该椭圆的离心率为（ ）

A. B. C. D.

解 不妨设F是椭圆的左焦点，F′为右焦点，连接PF′，则OA是三角形PFF′的中位线，|PF′|=2|AO|=2b，

|PF|=2a-|PF′|=2a-2b。

在RtΔFPF′中，因为|PF′|2+|PF|2=|FF′|2，

所以4b2+（2a-2b）2=4c2，a2-2ab+2b2=c2。

b= a，b2= a，a2-c2= a2，解得e= 。

故答案选A。

二、求动点的轨迹

通过对弓箭形状补成等腰三角形，借助于对称性构造三角形中位线，获取圆锥曲线中动点与不动点间的关系。

例2 设F ，F 分别是双曲线 - =1的左右两个焦点，Q是双曲线右支上任意一点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，求点P的轨迹方程。

解 延长F1P与QF2交于点M，因为QF1 -QF2 =2a=4，QF1 =QM。

所以QM-QF2 =4，MF2 =4，从而OP= MF2 =2，即x2+y2=4。

于是点P的轨迹方程是圆的一部分。

三、判断两圆的位置关系

通过构造三角形中位线建立圆锥曲线中变量之间的相互关系。

例3 已知点P（x0，y0）是椭圆 + （a>b>0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF 为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切。

证明 设以PF2为直径的圆的圆心为A，半径为r。

因为F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知，|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r。

所以|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a-r）。连接OA，由三角形中位线定理，知

|OA|= |PF1|= ×2（a-r）=a-r。

故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切。

四、求线段的长度

通过构造三角形中位线，探求涉及圆锥曲线不变量的度量。

例4 设椭圆 + =1上一点P到左准线的距离为10，F1是该椭圆的左焦点，

若点M满足 = （ + ），则| |= 。

解 设椭圆右焦点为F2，根据第二定义可解答：

因为 = = ，所以|PF1|=6，所以|PF2|=2a-|PF1|=4。

又 = （ + ），所以M为PF1中点，

则| |是△PF2F1的中位线。

所以| |= |PF2|=2。

综上所述，我们在解答涉及圆锥曲线问题时，要注重平面几何知识的运用，加强数与形的认识，提高综合解题能力。 （作者单位：江西省南昌市第三中学）endprint

众所周知，三角形中位线是平面几何中的一个重要定理，近年高考题往往涉及圆锥曲线和平面几何的综合，如果在处理这类圆锥曲线问题中，利用坐标原点是两焦点的中点，巧妙构造三角形中位线，揭示其几何特征，通常能取到事半功倍的效果。

一、？摇求圆锥曲线的离心率

通过圆锥曲线的中心是连接两焦点线段的中点，构造三角形中位线，建立方程，得到几何量之间的关系。

例1 已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点A，则该椭圆的离心率为（ ）

A. B. C. D.

解 不妨设F是椭圆的左焦点，F′为右焦点，连接PF′，则OA是三角形PFF′的中位线，|PF′|=2|AO|=2b，

|PF|=2a-|PF′|=2a-2b。

在RtΔFPF′中，因为|PF′|2+|PF|2=|FF′|2，

所以4b2+（2a-2b）2=4c2，a2-2ab+2b2=c2。

b= a，b2= a，a2-c2= a2，解得e= 。

故答案选A。

二、求动点的轨迹

通过对弓箭形状补成等腰三角形，借助于对称性构造三角形中位线，获取圆锥曲线中动点与不动点间的关系。

例2 设F ，F 分别是双曲线 - =1的左右两个焦点，Q是双曲线右支上任意一点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，求点P的轨迹方程。

解 延长F1P与QF2交于点M，因为QF1 -QF2 =2a=4，QF1 =QM。

所以QM-QF2 =4，MF2 =4，从而OP= MF2 =2，即x2+y2=4。

于是点P的轨迹方程是圆的一部分。

三、判断两圆的位置关系

通过构造三角形中位线建立圆锥曲线中变量之间的相互关系。

例3 已知点P（x0，y0）是椭圆 + （a>b>0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF 为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切。

证明 设以PF2为直径的圆的圆心为A，半径为r。

因为F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知，|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r。

所以|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a-r）。连接OA，由三角形中位线定理，知

|OA|= |PF1|= ×2（a-r）=a-r。

故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切。

四、求线段的长度

通过构造三角形中位线，探求涉及圆锥曲线不变量的度量。

例4 设椭圆 + =1上一点P到左准线的距离为10，F1是该椭圆的左焦点，

若点M满足 = （ + ），则| |= 。

解 设椭圆右焦点为F2，根据第二定义可解答：

因为 = = ，所以|PF1|=6，所以|PF2|=2a-|PF1|=4。

又 = （ + ），所以M为PF1中点，

则| |是△PF2F1的中位线。

所以| |= |PF2|=2。

综上所述，我们在解答涉及圆锥曲线问题时，要注重平面几何知识的运用，加强数与形的认识，提高综合解题能力。 （作者单位：江西省南昌市第三中学）endprint

众所周知，三角形中位线是平面几何中的一个重要定理，近年高考题往往涉及圆锥曲线和平面几何的综合，如果在处理这类圆锥曲线问题中，利用坐标原点是两焦点的中点，巧妙构造三角形中位线，揭示其几何特征，通常能取到事半功倍的效果。

一、？摇求圆锥曲线的离心率

通过圆锥曲线的中心是连接两焦点线段的中点，构造三角形中位线，建立方程，得到几何量之间的关系。

例1 已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点A，则该椭圆的离心率为（ ）

A. B. C. D.

解 不妨设F是椭圆的左焦点，F′为右焦点，连接PF′，则OA是三角形PFF′的中位线，|PF′|=2|AO|=2b，

|PF|=2a-|PF′|=2a-2b。

在RtΔFPF′中，因为|PF′|2+|PF|2=|FF′|2，

所以4b2+（2a-2b）2=4c2，a2-2ab+2b2=c2。

b= a，b2= a，a2-c2= a2，解得e= 。

故答案选A。

二、求动点的轨迹

通过对弓箭形状补成等腰三角形，借助于对称性构造三角形中位线，获取圆锥曲线中动点与不动点间的关系。

例2 设F ，F 分别是双曲线 - =1的左右两个焦点，Q是双曲线右支上任意一点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，求点P的轨迹方程。

解 延长F1P与QF2交于点M，因为QF1 -QF2 =2a=4，QF1 =QM。

所以QM-QF2 =4，MF2 =4，从而OP= MF2 =2，即x2+y2=4。

于是点P的轨迹方程是圆的一部分。

三、判断两圆的位置关系

通过构造三角形中位线建立圆锥曲线中变量之间的相互关系。

例3 已知点P（x0，y0）是椭圆 + （a>b>0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF 为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切。

证明 设以PF2为直径的圆的圆心为A，半径为r。

因为F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知，|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r。

所以|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a-r）。连接OA，由三角形中位线定理，知

|OA|= |PF1|= ×2（a-r）=a-r。

故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切。

四、求线段的长度

通过构造三角形中位线，探求涉及圆锥曲线不变量的度量。

例4 设椭圆 + =1上一点P到左准线的距离为10，F1是该椭圆的左焦点，

若点M满足 = （ + ），则| |= 。

解 设椭圆右焦点为F2，根据第二定义可解答：

因为 = = ，所以|PF1|=6，所以|PF2|=2a-|PF1|=4。

又 = （ + ），所以M为PF1中点，

则| |是△PF2F1的中位线。

所以| |= |PF2|=2。

综上所述，我们在解答涉及圆锥曲线问题时，要注重平面几何知识的运用，加强数与形的认识，提高综合解题能力。 （作者单位：江西省南昌市第三中学）endprint