利用罗尔定理证明命题时辅助函数的构造方法

王欣 屈娜 吴莎莎

[摘要]对于利用罗尔定理证明的一些问题，构造合适的辅助函数是问题证明的关键。对此，总结了构造辅助函数的积分法和插值函数法。实例研究表明：本文方法是构造辅助函数的有效方法。

[关键词]罗尔定理 辅助函数

对利用罗尔定理进行证明的命题，构造辅助函数是实现命题证明的关键，而这种辅助函数的构造是一种创造性活动。对该类问题进行深入研究后，发现构造辅助函数的方法具有一定规律性。本文分析了一些命题的特点，总结了构造辅助函数的积分法和插值函数法。实例研究表明：本文方法用于构造辅助函数是有效的。

一、不定积分法

很多命题可以归结为：在给定条件下，变量、函数及其导函数构成的方程有根。对于此类问题，列出对应方程，计算方程相关部分的不定积分，从而构造辅助函数。这种方法称为构造辅助函数的不定积分法。下面结合例题，进一步阐明不定积分法。

例1 已知f（0）=f（1）=0，f（x）在[0，1]内可导。证明：存在一点ξ∈（0，1），使得

分析：将等式中ξ用x替换，可得方程

f``（x）（1-x）2-2f`（x）（1-x）=0

对方程左边积分得，

f`（x）（1-x）2+c（c为任意参数）

因此，构造函数g（x）=（1-x）2f`（x），根据题目条件，可知

f`（ξ1）=0，g（ξ1）=g（1）=0，0<ξ1<1

由罗尔定理可得g`（ξ）=0（ξ1<ξ<1）。由此可得命题结论。

二、插值函数法

根据已知条件，构建插值多项式，进而得到辅助函数的方法称为插值函数法。拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明都是插值函数法。下面结合实例阐明插值函数法。

例2 设函数f（x）在[-a，a]上连续，（-a，a）内二阶可导，f（0）=0。证明至少存在一点ξ∈（a，b），使得

分析：要证明的等式右边为定积分，不妨假设 ，这时所要证明等式转变为

a3F```（ξ）=3[F（a）-F（-a）]

由于式子右边出现了三阶导数，插值多项式为三次多项式。不妨设三次多项式为

p（x）=a3x3+a2x2+a1x+a0

由于构造一元三次多项式需四个条件[3]，令P（x）经过点（-a，F（-a））、（0，F（0））、（a，F（a）），且p`（0）=f（0）。令g（x）=F（x）-p（x），则 ，又有

g（-a）=g（0）=g（a）=0，g`（0）=0

由罗尔定理可得

由此可得命题结论。

例3 设函数f（x）在[-a，a]上连续，（-a，a）内二阶可导。证明至少存在一点ξ∈（a，b），使得

分析：结论左边为函数f（x）在ξ处的二阶导数，右边为f（x）在三定点处函数值的组合。构造二次多项式为

p（x）=a2x2+a1x+a0

由于构造一元二次多项式需三个条件，令P（x）经过点（a， f（a））、（b，f（b））和（a/2+b/2，f（a/2+b/2））。令

g（x）=f（x）-p（x） ，则

由罗尔定理可得

由此可得命题结论。

如果利用泰勒中值定理证明例2、3，要求函数f（x）二阶导函数连续。而使用插值函数法证明例2、3，只需要函数f （x）二阶可导。因此，插值函数法的应用范围更广。

三、结束语

利用微分中值定理证明一些命题的关键是构造满足微分中值定理条件的辅助函数。对此，本文总结了两种构造辅助的方法，为应用微分中值定理解决相关命题的证明奠定了基础。实例分析表明，本文方法是构造辅助函数的有效方法。

[参考文献]

[1]同济大学应用数学系.高等数学（第六版）[M].高等教育出版社，2010.

[2]周民强.数学分析习题演练[M].科学出版社，2006.

（作者单位：1.解放军西安通信学院 文化基础教研室 陕西西安，2.解放军第二炮兵工程学院 理学院数学与军事运筹教研室 陕西西安，1.解放军西安通信学院文化基础教研室 陕西西安）