一类5阶常微分方程特征值的估计

吴 平

(苏州职业大学 基础部，江苏 苏州 215004)

1 问题的提出[1]115-132,[2]72-77

设(a,b)⊂R是一个有界区间，考虑

的特征值估计问题，其中a

k1g(x)k2

(3)

其中k1，k2，为正实数.

在本文中，我们运用[1]的方法，并且对其方法进行适当改进，考虑问题(1)—(2)的特征值估计，获得了用前n个特征值来估计第n+1个特征值的上界的不等式，其估计系数与区间的几何度量无关，其结果在物理学和力学等领域有着广泛的用途.

根据方程理论知，问题(1)—(2)的特征值是离散的，且都是正实数.

设问题(1)—(2)的特征值为

0<γ1γ2…γn…

与之相对应的正交特征函数为

y1,y2,…,yn,… 即满足

(4)

利用5次分部积分法,得

(5)

利用(3)和(5),得

(6)

设

其中

显然，bij=bji，φi与yj正交(i,j=1,2,…,n)

于是,我们利用Rayleigh定理,得到下列不等式

γn+1

(7)

计算得

-T5(g(x)T5φi)

(8)

(9)

设

利用(9)，得

(10)

利用(7)、(10)，有

(11)

用γn替代(11)中的γi，成立着

(12)

2 主要定理[3]11-14,[4]1-5

引理1 设yi是问题(1)—(2)对应特征值γi的特征函数，则

证明利用分部积分，Schwartz不等式，得

(13)

同理

化简，得

(14)

利用分部积分，Schwartz不等式和(13)，(14)和(6)，得

化简得引理1(Ⅰ).引理1(Ⅰ)代入(14)得引理1(Ⅱ).引理1(Ⅰ)(Ⅱ)代入(13)即得引理1(Ⅲ).

引理2 设γ1,γ2,…,γn为问题(1)—(2)的n个特征值，则

L

证明

(15)

利用分部积分法，得

利用(15)、(16)、(17)和(18)，得

(19)

利用(19)，有

利用(3)，引理1(Ⅰ)和(6)，得

(21)

利用(3)，Schwartz不等式，引理1(Ⅰ)和(6)，得

(22)

利用(20)、(21)和(22)，得

L

即得引理3.

引理3 对于φi和γi(i=1,2,…,n)，则

证明利用φi的定义，有

(23)

利用分部积分，有

即

得

(24)

利用(23)、(24)，得

利用Schwartz不等式、(4)和引理1(Ⅲ)，有

化简即得引理3.

定理1 如果λi(i=1,2,…,n+1)是问题(1)—(2)的特征值，则

(Ⅰ)γn+1

(Ⅱ)γn+1

证明由引理3，得

再利用(12)和引理2，得定理1(Ⅰ).在定理1(Ⅰ)中右端用γn替代γi可得定理1(Ⅱ).

定理2 对于n≥1，则

证明选参数υ>γn，利用(11)，得

(25)

(26)

其中ε>0，是待定系数.

利用(25)、(26)和引理1(Ⅱ)，化简为

(γn+1-υ)E+FL

(27)

n

(28)

为了使(28)右端的值达到最小，取

(29)

将(29)代入(28)，得

(30)

利用引理2、(27)、(30)，得

(γn+1-υ)E

(31)

其中，选择使(31)式右端等于零，即

(32)

设

易知，h(υ)是在(γn,+)内单调减少连续函数，其值域为(0,+)，因此，存在唯一的υ使(32)成立，从(31)知υ≥γn+1，用γn+1替代等式(32)中的υ，即得定理2.

3 结语

方程的特征值问题是数学学科研究的一个重要领域，它所涉及的问题和内容复杂而广泛，本文研究了一类常微分方程特征值的上界估计，并得到了用前n个特征值来估计第n+1个特征值的上界的不等式，其估计系数与区间的几何度量无关，其结果在物理学和力学等领域中应用广泛.

参考文献：

[1] G.H.Hile and R.Z.Yeh. Inequalities for Eigenvalues of the Biharmonic Operator[J].Pacific.J.Math.1984(112).

[2] 吴 平.某类微分系统特征值的带权估计[J].荆门职业技术学院学报,2007(3).

[3] 吴 平.某类系统离散谱的上界估计[J].宁波职业技术学院学报,2008(2).

[4] 吴 平.某类微分系统的谱估计[J].商丘职业技术学院学报,2013(2).