弹性高超声速飞行器多胞鲁棒变增益控制

张 科, 崔建峰, 吕梅柏

(1.西北工业大学 航天学院, 陕西 西安 710072; 2.航天飞行动力学国家级重点实验室, 陕西 西安 710072)

由于机体/发动机一体化的设计理念及轻质材料的应用，吸气式高超声速飞行器的动力学特性十分复杂，存在着较为显著的气动-热-弹性-推进耦合现象；当其在大包线范围内飞行时，相应的气动特性及模型参数变化较大；这些均给吸气式高超声速飞行器的控制系统设计带来很大挑战。

目前，关于高超声速飞行器控制系统设计方法的研究已有很多理论成果。鲁棒控制、自适应控制、变结构滑模控制、广义预测控制、分数阶PIλDμ控制等控制方法[1-5]均被用于设计高超声速飞行器控制系统，并取得了较好的控制效果。但现有的控制系统设计方法仍存在一些不足：

1)大多数设计方法没有考虑高超声速飞行器的结构弹性影响，控制系统设计所应用的飞行器模型一般为刚体模型，然而基于刚体模型所设计的控制系统会因弹性模态发散而失控[6]；

2)已有的基于高超声速飞行器弹性模型所进行的控制系统设计对于弹性模态通常有2种处理方法：①直接将弹性模态做为已知系统状态进行全状态反馈控制；②将弹性模态做为未知信息，采用混合灵敏度[7]、输出反馈[8]或状态观测器[9]方法来处理弹性模态的影响，这些方法均能够使高超声速飞行器的弹性模态稳定。但是，前者需要进一步考虑实际应用中弹性模态相关状态的获取问题，后者将使所设计的控制器结构复杂、阶数较高；

3)在处理飞行器大包线参数变动所带来的非线性问题上，传统的非线性控制系统设计方法常需要经过较为复杂的解析求解过程，对控制模型的连续性与精确性要求较高。

针对上述现有高超声速飞行器控制系统设计方法的不足，本文以高超声速飞行器的速度与高度跟踪控制为研究对象，首先基于现有弹性高超声速飞行器纵向平面内的非线性模型，利用TP(tensor product)模型转换这种数值方法获取弹性高超声速飞行器的多胞LPV(linear parameter varying)系统；然后将弹性模态视为外部干扰，以弹性模态的二阶导数变量为控制输出，仅通过实际可测的刚体状态参数作为反馈量，进行高超声速飞行器的多胞鲁棒变增益控制器设计，以保证高超飞行器在一个较大区域的飞行包线内拥有稳定的飞行特性。最后，对所设计的控制器进行了系统仿真验证。

1 弹性高超声速飞行器多胞LPV系统模型

1.1 数学模型

本文以Bolender、Doman等人提出的弹性高超声速飞行器模型为主要研究对象[10]。在其文献中，弹性高超声速飞行器纵向平面内的数学模型在稳定轴坐标系下通过拉格朗日方程构建，具体动力学方程如下：

(1)

式中:V为飞行器速度,h为飞行器高度,α为攻角,θ为俯仰角,q为俯仰角速度,ηi为第i阶弹性模态的广义坐标,ωi为第i阶弹性模态的自然频率,ζi为第i阶弹性模态的阻尼比,T、D、L、M、Ni分别为飞行器的推力、阻力、升力、俯仰力矩及第i阶弹性模态的广义力;各力与力矩可表示如下:

(2)

式中：φ为空气燃油比率,δe为升降舵偏角;(1)式与(2)式中各力与力矩系数及飞行器其他相关参数详细信息可查看文献[6]。

1.2 多胞LPV系统模型

LPV系统模型可以通过雅可比线性化,状态变换及函数替换法从系统的非线性模型获取。所得到的LPV模型在求解鲁棒控制器时,为保证在整个变参数轨迹上稳定,需要确保稳定性条件在轨迹的每一点上都得到满足。如果所研究的LPV系统具有多胞形结构,由于多胞形属于凸集,集内各点可通过凸集顶点完全描述,则稳定性条件仅需要确保在各顶点上满足即可,这样可大大减少计算量,同时使控制器获得连续的增益并具有全局特性。

TP模型转换方法是近几年提出的一种可将LPV模型变换为多胞形结构的数值方法。该方法可以将任意形式的LPV模型以一种统一的处理方式转换为多胞模型,而无须经过求导、仿射分解等较为复杂,甚至难以进行的解析推导过程[11]。其主要思想是将LPV模型的变参数在目标区域进行网格划分,并在变参数网格点上离散化LPV系统矩阵,然后将离散后的系统矩阵信息存储在一个张量中,通过对张量进行高阶奇异值分解(HOSVD:higher order singular value decomposition),得到由有限个线性定常系统的凸组合所近似的TP多胞模型结构。具体的变换方法可以参看文献[11]。TP模型转换方法实际上是一种在张量空间下的基于奇异值信息的系统降维方法。

考虑如下形式的LPV系统模型:

(3)

式中：u(t)∈Rk为控制输入,y(t)∈Rl为控制输出,x(t)∈Rm为系统状态。p(t)∈Ω为N维变参数向量,其取值位于闭域Ω=[a1,b1]×[a2,b2]×…×[aN,bN]⊂RN中。变参数p(t)可以包含系统的部分状态变量。

则该LPV系统的系统矩阵可以表示为:

(4)

式中：O=m+k,I=m+l。经过TP模型变换后,由(3)式代表的LPV系统可以表示为如下的TP模型形式:

(5)

S为变换后所得到的系统核心张量,核心张量中存储的为系统的顶点线性定常系统矩阵,wn(pn(t))为与核心张量相应的权重系数矩阵。

通过提取核心张量中存储的顶点线性定常系统矩阵,可以将TP模型形式转换为多胞结构:

(6)

(7)

σk为变换过程中根据精度需要而舍弃的较小奇异值。

对于(1)式所表示的高超声速飞行器系统,根据系统变动特点,以速度V,高度H为其变参数。在目标飞行包线上以等间距进行网格划分,然后结合雅可比线性化方法,在网格点上求取线性化系统,可直接从(1)式进行TP模型转换,得到相应的多胞LPV系统模型。

(8)

2 多胞鲁棒变增益控制器设计

2.1 问题描述

在获取弹性高超声速飞行器的多胞LPV系统模型后,可以通过多胞系统的顶点性质来设计控制器。但在求解前,为了降低控制系统的复杂度和控制器的阶数,避免利用混合灵敏度、输出反馈或状态观测器方法处理弹性高超声速飞行器的弹性模态,本文将弹性模态视为外部干扰,以弹性模态的二阶导数变量为评测控制输出,对顶点线性定常系统进行调整;并在调整系统基础上,引入速度与高度跟踪误差的积分,以减小稳态跟踪误差。最后所得到的广义多胞系统如下:

(9)

{zr|zr=Ww, w∈H2,‖w‖2≤1}

(10)

式中：W是已知的加权函数。

此时弹性高超声速飞行器的速度与高度跟踪控制问题可以表述为:设计一个状态反馈控制器,使得飞行器系统可以跟踪指定的速度与高度参考指令,即:

(11)

广义系统的控制器结构框图如图1所示。

图1 广义系统的控制器结构框图

2.2 多胞控制器设计

引理1[12](实有界引理)考虑系统

(12)

系统渐近稳定且满足‖y‖2<γ‖u‖2的充要条件为:存在一个正定对称矩阵P>0满足

(13)

引理2[13]下列条件是等价的

2) 存在矩阵G使得下式成立:

定理1 对于多胞LPV系统(9),设计具有同样多胞结构的状态反馈控制器,如果存在一个对称矩阵X,n个正定对称矩阵Qi,n个矩阵Wi,i=1…n,满足下列LMI:

(14)

式中:

则设计的多胞状态反馈控制器K(p)将保证在变参数(V,h)的整个范围内闭环系统都内稳定,同时外部干扰w到输出z之间具有二次H∞性能指标γ,且各顶点的控制器Ki=WiX-1。

证:状态反馈控制器具有与系统一样的多胞结构,将其代入到公式(9)中,可得

(15)

在(15)式中为了表示简洁,使用wr表示(9)式中的wr(V,h)。

(16)

式中

若取

(17)

(18)

式中

同理,对于Ξc也有相应等式成立。考虑到r、s表示形式无关性,则(18)式可表示为:

(19)

因此,当定理1中条件成立时,存在相应多胞结构的状态反馈控制器,保证系统在变参数的整个范围内闭环系统都内稳定,同时外部干扰w到输出z之间具有二次H∞性能指标γ。

3 仿真设计与分析

为了验证弹性高超声速飞行器多胞鲁棒控制器设计方法的有效性,对前述弹性高超声速飞行器非线性模型进行仿真。选取高超声速飞行器目标工作区域为V∈[2 220,3 200] m/s,h∈[16 000,26 000]m。仿真参考指令信号选用多段阶跃信号,且均通过以下二阶滤波器:

(20)

式中：阻尼ξ=0.9,自然频率ωn=0.25 rad/s。

对于高度参考指令,t=0 s时从16 000 m开始,每隔100 s产生一个5 000 m的递增阶跃信号,至26 000 m时保证高度不变。速度参考指令t=0 s时从2 200 m/s开始,每隔100 s产生一个500 m/s的阶跃信号,至3 200 m/s时保证速度不变。

在求取工作区域内控制器的过程中,选取[V,h]的离散网格为40×60的等间距网格点,经高阶奇异值分解并舍弃较小的奇异值后,所得到的与速度相应的系统张量模矩阵奇异值为:33118.6,4436.3,185.9,3.4,0.36;与高度相应的系统张量模矩阵奇异值为:33330.1,2364.1,269.8,35.4,0.19;与速度V及h核心张量相应的权重函数如图2所示。

由定理1获取多胞鲁棒控制器,按前述指令进行跟踪仿真,得到飞行器的速度、高度变化曲线及系统的弹性模态响应曲线分别如图3、图4所示。

图2 变参数V与h的权重函数

图3 速度与高度跟踪曲线

图4 弹性模态变化曲线

从图中可以看出,在没有使用状态观测器、输出反馈的情况下,使用本文方法构造的状态反馈控制器也可以将弹性模态稳定,且系统能快速地跟踪速度和高度指令信号。值得提出的是,本文所设计的鲁棒变增益控制器为2×7阶的可调增益矩阵。如果根据相关文献提供的混合灵敏度方法或输出反馈方法进行设计,则所得到的控制器系统矩阵在不降阶的情况下至少有Ac∈R11×11, Bc∈R11×5,Cc∈R2×11,Dc∈R2×5。对比可以发现,本文所设计的变增益控制器结构形式简单,阶数较低。

4 结 论

本文提出了一种弹性高超声速飞行器的多胞鲁棒变增益控制方法。该方法首先使用TP模型转换方法获取了系统的TP多胞模型，然后，基于线性矩阵不等式求取多胞控制器。在求取多胞控制器时，为了简化控制器结构及降低控制器阶数，将弹性模态视为外部干扰，以弹性模态的二阶导数变量为控制输出，仅通过实际可测的刚体状态参数作为反馈量来设计控制器。仿真结果表明，所设计的多胞鲁棒变增益控制器，能够使系统快速跟踪速度和高度指令信号，保证弹性模态稳定，且相对于传统的弹性控制器，结构更简单，阶数更低。

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