古典概型中的均等分组

宋治涛

摘要：

对古典概型中的均等分组问题进行了研究；并分析了几种常见的均等分组情况，结合实例给出了相应的算法。

关键词：

古典概型； 均等分组； 排列组合

中图分类号：

G4

文献标识码：A

文章编号：1672-3198（2014）04-0165-03

1 问题的提出

概率统计课程是大学数学的一门重要的基础理论课程之一，是绝大部分本科生的必修课程。其前半部分是概率论的知识，后半部分是统计学的知识；在概率论的知识中，必然会讲到最古老、最理想的随机试验——古典概型，在其中必定会讲解一类典型的例题——分配问题，如文献[1][2]中都用到了下述例题：

引例 把15名新生随机地平均分到三个班级去，这15名新生中有3名是优秀生，问：

（1）每个班各分到一名优秀生的概率是多少？

（2）3名优秀生分到同一个班的概率是多少？

解 （1）令A：“每个班各分到一名优秀生”，

则A中样本点的个数为（3！）·（C412C48C44）。

又因为样本空间中样本点的总个数为C515C510C55，

2 均等分组的各种情况

为了便于说明问题，我把均等分组分解为两种情况来说明，先讨论比较简单的完全均等分组的情况，然后就推广的一般情况进行总结，并分别就不同的情况给出相应的实例及计算公式。

2.1 完全均等分组

定义1 把n=km个元素随机地等分成m组，每组有k个元素，我们称这样的分组为完全均等分组。

在上述完全均等分组的定义中，没有对元素是否相同和组是否有别给出说明，下面针对元素、组的各种可能情况，分别给出实例。

2.1.1 相同元素的分组

定义2 相同元素的分组是指参加分组的元素完全一样，相互之间没有区别。

下面通过两个实例来说明相同元素分组的两种情况。

例1 把4个相同的乒乓球放到四个完全一样的盒子中，每个盒子中都有一个球，问一共有多少种放法？

分析 本题的实质是把四个乒乓球均分成四份；因为球完全相同，所以只有一种分组情况；又因为盒子完全一样，所以与排列无关，不论怎么放，结果都是一样的。最后的结果只有一种。

例2 把4个相同的乒乓球放到四个不同的盒子中，每个盒子中都有一个球，问一共有多少种放法？

分析 本题的实质还是把四个乒乓球等分成四份；因为球完全相同，所以只有一种分组情况；虽然盒子不一样了，但是不论怎么放，结果都是一样的。所以最后的结果仍然只有一种。

综上可得，相同元素的完全均等分组只有一种分法。

2.1.2 不同元素的无序分组

定义3 不同元素的无序分组是指把n=km个不同元素随机地等分成m组（组内元素没有顺序之分），每组有k个元素，且组之间没有任何区别。

对于这种分组，因为组之间没有区别，所以分组与组的顺序无关，但是与组的数量有关；下面通过实例加以说明。

例3 把10名篮球队员随机地等分成两组进行篮球比赛，问总共有多少种分法？

分析 把10名队员分别记为M1，M2，M3，M4，M5，M6，M7，M8，M9，M10，然后进行如下分组：

（1）M1，M2，M3，M4，M5 M6，M7，M8，M9，M10

（2）M6，M7，M8，M9，M10 M1，M2，M3，M4，M5

（3）M1，M2，M3，M4，M6 M5，M7，M8，M9，M10

（4）M5，M7，M8，M9，M10 M1，M2，M3，M4，M6

…… ……

从上表可以看出，（1）、（2）的区别仅仅是选取队员的先后顺序不同，从分组比赛的实质来看是一样的，所以它们只能算是一种分组情况；（3）、（4）也是属于同一种分组；以此类推，各种可能的取法都是两两相同的。

2.2 不完全均等分组

定义5 不完全均等分组是指把n个元素或其一部分随机地分成m组（组内元素没有顺序之分），其中部分组含有元素个数相等。

不完全均等分组情况比较复杂，不仅涉及元素是否相同、分组是否有序，还与所含元素个数相等的组的种数有关，下面分情况给出。

相同元素的分组情况与完全均等分组基本一致，在这里就不再赘述。

2.2.1 不同元素的无序分组

定义6 不同元素的无序分组是指把n个不同元素或其一部分随机地分成m组，其中各组或部分组所含元素个数相等，且组与组之间没有区别。

此种分组与上述完全均等分组中的无序分组情况类似，下面通过两个实例来说明。

例6 从12名篮球队员中选出10名，然后平均分成两组，问有多少种不同的分法？

2.2.2 不同元素的有序分组

定义7 不同元素的有序分组是指把n个不同元素或其一部分随机地分成m组，其中各组或部分组所含元素个数相等，且组与组之间有顺序区别。

此种分组也是典型的分配问题，首先按组取出来，然后分配到各个不同的组中去。在上述不同元素的无序分组基础上，再加以排列就可以了。下面通过三个实例来说明。

例8 从12名篮球队员中随机地选出10名，然后平均分成两组，分别由甲、乙带队训练，问有多少种不同的分法？

3 结束语

综上可知，均等分组的实际题目千差万别，大家在做题时，一定要仔细阅读题干，首先分清大类，然后关注细枝末节，灵活运用计算方法。

参考文献

[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2003：12-18.

[2]卓相来，岳嵘.概率统计简明教程[M].东营：中国石油大学出版社，2012：12-17.

[3]刘凤霞.从一次讨论引出的思考[J].高等数学研究，2005， 8（6）：18-20.

[4]李智明，张长城.关于分配问题的一点注记[J].高等数学研究，2009， 12（1）：89-92.