一类具黏性拟线性波动方程解的能量衰减和解的爆破

闫用杰， 陈翔英

(1.安康学院数学系 陕西安康725000;2.郑州电力高等专科学校经济贸易系 河南郑州450004)

0 引言

研究下列初边值问题

其中 μ ＞ 0，δ＞ 0，p≥1，q ＞ 1是常数，Ω =(0，1)，QT= Ω ×(0，T)，u(x，t)表示未知函数，σ(s)是给定的非线性函数，u0(x)和u1(x)是已知的初值函数，下标x和t分别表示对x和t求偏导数．

当μ=δ=0时的方程(1)是由文［1］作为改进的拟线性波动方程的模型引入的，此方程对于大初值存在整体光滑解．文献［2－5］研究了方程(1)对于小初值解的整体存在性，同时研究解的渐近性质和有关的方程．当σ=μ=0和δ=1时，文［6］对于方程(1)的多维情况研究了解的渐近性质和解的衰减性质．文［7－8］证明了当δ＞0和μ＞0时，方程(1)在多维和小初值情况下整体广义解的存在性和唯一性，但是没有讨论解的爆破．

本文的目的是给出小初值的情况下问题(1)～(3)解的能量衰减．对于大初值的情况先说明问题(1)～(3)存在唯一的局部广义解，然后给出问题(1)～(3)解爆破的充分条件．

贯穿全文，采用下列符号:Lp(Ω)(1≤p≤∞)表示所有定义在Ω上的Lp－函数，并赋予范数 fp=fLp和 f = f2的空间;Hm(Ω)表示定义在Ω上赋予范数 fHm(Ω)的Sobolev空间，其中m≥0是一整数，Hm(QT)表示定义在Ω×(0，T)上赋予范数 fHm(QT)的Sobolev空间．

1 问题(1)～(3)的能量衰减

定理1 设文［7］中的主要定理成立，令u(x，t)是问题(1)～(3)的广义解．若p=q=5，σ(v2)v2＞且μ＞0充分小，则成立E(t)≤C(1+t)－12，t≥0，其中C ＞0是仅依赖于E(0)的常数，

证明 根据文［8］定理8．1，只需证明问题(1)～(3)的广义解u(x，t)是R+上的非负非增的可导函数和满足不等式即可．为此，方程(1)两端同乘以ut(x，t)，在Ω上积分并对x分部积分得

式(4)表示能量E(t)是非增的．因为

所以E(t)是非负的．式(4)对t积分有

式(1)两端乘以E2(t)u(x，t)并在Ω×(S，T)上积分，可见，

其中(，)表示L2(Ω)中的内积，0≤S＜T＜∞．对式(7)中的每一项进行估计如下:对t分部积分，得

于是

将式(8)～(12)代入式(7)推出

其中，A1

由上面的估计可以得出:

其中0≤S＜T＜∞ 和Ci(i=4，5，6，7)是不依赖于S的常数．

现在估计A5．为此，首先估计B1．由式(4)推得这样，

利用带ε的Young不等式可见

利用Hölder不等式，带ε＞0的Young不等式和式(4)得

其中C(ε)＞0是不依赖于S和T的常数．

利用Gagliardo-Nirenberg插值定理，由式(18)得

由式(17)和式(19)推出

将式(14)～(16)和式(20)～(21)代入式(13)可知

如果ε＞0选的充分小且μ＞0充分小，则存在C12＞0，使得成立．由文［8］

2 问题(1)～(3)在大初值情况下的局部广义解和解的爆破

应用压缩映射原理证明问题(1)～(3)存在唯一局部广义解．

其中，

证明 式(1)的两端同乘以2ut(x，t)并在Ω上积分，有

因此 E(t)=E(0)，t ＞ 0．令

有

利用定理2的假定1)，分部积分并注意到

得到

应用Hölder不等式和Young不等式，可见

令c是d的共轭指数，利用前式和带ε＞0的Young不等式可知利用Sobolev嵌入定理知

将式(29)代入式(28)得

由式(31)推出

把式(25)代入式(34)的左端，导出

进一步缩小上式右端，发现

由式(32)和式(33)可推出当t→∞ 时，M(t)→∞ 且M(t)→∞．所以存在一个t0≥1，使得当t≥t0时，有(t)＞0和M(t)＞0．式(37)的两端同乘以2(t)并利用式(32)得

从式(38)可得

式(39)在(t0，t)上积分，有

可以看出，当t→∞ 时，式(40)的右边趋于∞，因此存在一个t1≥t0，使得当t≥t1时，式(40)右端大于或等于0，因此推出

致谢:此文是在郑州大学陈国旺教授的指导下完成的，特此对他表示感谢!

［1］ Greenberg J M.On the existence，uniqueness and stability of the equation ρXtt=E(Xx)Xxx+Xxxt［J］.J Math Anal Appl，1969，25:575-591.

［2］ Kawashima S，Shibata Y.Global existence and exponential stability of small solutions to nonlinear viscoelasticity［J］.Comm Math Phys，1992，148:189-208.

［3］ Mizohata K，Ukai S.The global existence，uniqueness of small amplitude solutions to the nonlinear acoustic wave equations［J］.J Math Kyoto Univ，1993，33:505-522.

［4］ Matsuyama T，Ikehata R.On global solutions and energy decay for the wave equations of Kirchhoff type with nonlinear damping terms［J］.J Math Anal Appl，1996，204:729-753.

［5］ Nakao M.Energy decay for the quasi-linear wave equation with viscosity［J］.Math Z，1995，219:289-299.

［6］ Nakao M.On strong solutions of the quasilinear wave equation with viscosity［J］.Adv Math Sci Appl，1996，6:267-278.

［7］ Chen Guowang，Wang Yanping.A note on“On the existence of solutions of quasi-linear wave equations with viscosity”［J］.Nonlinear Analysis TMA，2008，68:609-620.

［8］ Komonik V.Exact Controllability and Stabilization［M］.Paris:Masson-John Wiley，1994.

［9］ Mazja Vladimir G.Sobolev Spaces［M］.New York:Springer-Verlag，1985.

［10］ Chen Guowang，Yue Hongyun，Wang Shubin.The initial boundary value problem for quasi-linear wave equation with viscous damping［J］.J Math Anal Appl，2007，331:823-839.