关于不定方程组x±1=6pqu2,x2∓x+1=3υ2 的整数解

2014-03-20 06:49杜先存孙映成
郑州大学学报(理学版) 2014年1期
关键词:素数方程组整数

杜先存, 孙映成, 万 飞

(1.红河学院 教师教育学院 云南蒙自661199;2.盐城师范学院数学科学学院 江苏盐城224002)

0 引言

关于三次不定方程

的整数解的问题一直是数论研究者关注的问题.文献[1-5]给出了一些结果.

就起着重要的作用.然而关于不定方程组(2)的整数解的情况,目前仅就D为素数时,有一些结论:文献[6]得出了方程组x+1=6Du2,x2-x+1=3v2无正整数解;文献[7]得出了x-1=6Du2,x2+x+1=3v2仅有整数解(D,x,u,v)=(D,1,0,±1),(13,313,±2,±181).

本文将利用递归序列、Pell方程的解的性质、Maple小程序,得出当D含两个互异的6k+1型素因子时方程组(2)的解的情况.

1 主要引理

引理1[8]设p是一个奇素数,则丢番图方程4x4-py2=1除开p=3,x=y=1和p=7,x=2,y=3外,无其他的正整数解.

引理2[8]方程 x2-3y4=1 仅有整数解

2 主要定理及证明

定理1 设p,q为互异的奇素数,p≡q≡1(mod 6),则不定方程组

只有平凡解(x,u,v)=(1,0,±1).

证明 1)先证存在性

将式(3)的x=1+6pqu2代入x2+x+1=3v2,整理得

设(xn,yn)(n∈Z)为Pell方程X2-3Y2=1的任意整数解,显然 2 +是Pell方程X2-3Y2=1的基本解.于是式(4)的一切整数解可表示为

因此,4pqu2+1= ±yn(n∈Z),即4pqu2= ±yn-1.又 y-n= -yn,所以只需考虑

由式(5),得 yn≡1(mod 4).

容易验证下列各式成立:

对递归序列(6)取模4,得周期为4的剩余类序列,且仅当n≡1(mod 4)时,有yn≡1(mod 4),所以只有当n≡1(mod 4)时式(5)才成立.

当 n≡1(mod 4)时,不妨令 n=4m+1(m∈Z),则由式(5)、(7)和(8)得

即2pqu2=x2m+1y2m.

由式(7)得,gcd(x2m+1,y2m)=gcd(2x2m+3y2m,y2m)=gcd(2x2m,y2m)=gcd(2,y2m)=2.又由式(9)、(10)得,x2m+1≡2(mod 4),y2m≡0(mod 4),所以下列情形之一成立:

将式(13)中x2m+1=2a2代入x22m+1-3y22m+1=1,得4a4-3y22m+1=1.根据引理1知,a= ±1,此时x2m+1=2,则 m=0.再由式(6)得 y0=0,故由式(13)中 y2m=4pqb2,得 4pqb2=0,则 b=0,故 u=0,于是得到方程组(3)的平凡解(x,u,v)=(1,0,±1).

2)再证唯一性

由式(14)的 y2m=4b2得 xmym=2b2,又由式(10)知 ym≢2(mod 4),而 gcd(xm,ym)=1,故 xm=2c2,ym=d2,因此有4c4-3y2m=1.根据引理1 知,c= ±1,ym= ±1.则由 c= ±1 得,xm=2,故 m=1.此时由式(11)得x3=26,故由式(14)的 x2m+1=2pqa2,得26=2pqa2,所以 a=1,pq=13,这与“p,q为互异的奇素数”矛盾.所以该情形方程组(3)无整数解.

由式(15)的y2m=4pb2得xmym=2pb2,又由式(10)知ym≢2(mod 4),而 gcd(xm,ym)=1,所以下列情形之一成立:

若式(17)成立,则有4c4-3y2m=1.由引理1 知,ym= ±1,则由式(18)ym=pd2,得1=pd2,则有p=1,这与“p为奇素数”矛盾,所以该情形方程组(3)无整数解.

若式(18)成立,则有 x2m-3d4=1.由引理2 知,xm= ±1,±2,±7,故由式(18)xm=2pc2,有 2pc2=2,则p=1,这与“p为奇素数”矛盾,所以该情形方程组(3)无整数解.

由式(16)的y2m=4qb2,仿式(15)的讨论知,该情形方程组(3)无整数解.

综上1)和2)可知,定理1成立.

从2018年初开始,合作社不再聘请执行理事,所有经营管理由村两委负责。合作社每年将召开全体成员大会一次,向全体社员汇报年度的重要工作、财务收支、股权分红以及下一年度工作计划。

定理2 设p,q为互异的奇素数,p≡q≡1(mod 6),则不定方程组

仅有平凡解(x,u,v)=(-1,0,±1).

事实上,将x=6pqu2-1代入x2-x+1=3v2,整理得

仿照定理1的证明可知式(20)的一切整数解可表示为

为此也只需考虑

由式(21),得 yn≡ -1(mod 4).

对递归序列(6)取模4,得周期为4的剩余类序列,且仅当n≡-1(mod 4)时,有yn≡-1(mod 4),所以只有当n≡-1(mod 4)时式(21)才成立.

当 n≡ -1(mod 4),令 n=4m -1(m∈Z),则由(8)、(12)和(21)得

由式(6)知仅当m=0时,y2m=0.又由式(11)知对于任意整数m,均有x2m-1≠0,所以仅当 m=0时,x2m-1y2m=0.

(i)m=0 时,由式(22)得,u=0,此时得出方程组(19)的平凡解(x,u,v)=(-1,0,±1).

(ii)m≠0时,仿定理1的证明可知不定方程组(19)无整数解.

综上,定理成立.

对于方程组(2)的整数解的情况,本文仅仅给出了D含两个互异的6k+1形素因子时的解的情况,对于D含3个及以上互异的6k+1形素因子时方程组(2)的解的情况还有待于进一步研究.

[1] 柯召,孙琦.关于丢番图方程 x3±1=Dy2[J].中国科学,1981,24(12):1453 -1457.

[2] 黄寿生.关于指数 Diophantine方程 x3-1=2py2[J].数学研究与评论,2007,27(3):664 -666.

[3] 管训贵.关于 Diophantine方程x3±1=2py2[J].云南民族大学学报:自然科学版,2012,21(6):438 -441.

[4] 张海燕,王连芳.关于丢番图方程x3±1=2Dy2[J].哈尔滨理工大学学报:自然科学版,1997,2(6):85 -87.

[5] 杜先存,赵东晋,赵金娥.关于不定方程x3±1=2py2[J].曲阜师范大学学报:自然科学版,2013,39(1):42-43.

[6] 田晓霞.关于不定方程组 x+1=6py2,x2-x+1=3z2[J].四川理工学院学报,2009,22(1):30 -31.

[7] 牟全武.对文“关于指数Diophantine方程x3-1=2py2”的注记[J].西安文理学院学报:自然科学版,2008,11(4):43 -45.

[8] 曹珍富.丢番图方程引论[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,1989.

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