磁单极子存在时的Maxwell方程组的初边值问题

王治蓉, 杨丕文*, 李又超

(1. 四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066; 2. 东方电气集团 东方电机有限公司, 四川 德阳 618000)

Maxwell方程组是电磁理论的核心,描述了宏观电磁现象,方程组的微分形式为

(1)

方程组(1)的4个方程表示的物理意义在文献[1]中有详细的解释.此方程组表明自然界中存在着作为场源的电荷和电流,不存在磁荷与磁流,即磁单极子不存在.理论和实验却说明磁单极子存在,国内外都有一些关于磁单极子的研究[2-9].

如果磁单极子存在,设磁荷密度为g0,磁流密度为K,与处理电荷的方法类似,磁流密度K与磁荷密度g0满足连续性方程

(2)

方程组(1)中的第一与第二式可改写为

▽·B=g0,

(3)

(4)

方程组(1)中第三与第四式在磁荷存在时仍然成立.

因此,磁单极子存在时,得到一组新的Maxwell方程组为

(5)

设C=1,ε0=μ0=1,E=Φ,H=Ψ, Maxwell方程组(1)与方程组(5)即可简化为[10-11]

(6)

(7)

引入拟四元数空间[12],即记二阶矩阵

则有

e2e3=-e3e2=-ie1,e3e1=-e1e3=-ie2.

引入一阶微分算子

▽,

在文献[12]中讨论了某些一阶双曲方程组的初边值问题,用类似的方法,在文献[13]中讨论了Maxwell方程组(6)的初边值问题,而在文献[12]中引入了拟四元数空间后,Maxwell方程组(6)可表示为

D(ψ+iΦ)=if2,

(8)

而方程组(7)可表示为

D(ψ+iΦ)=f1+if2,

(9)

而方程组(7)是磁单极子存在时的Maxwell方程组,下面就讨论此方程组的初边值问题.为了简化计算,先讨论方程

▽)(ψ+iΦ)=-K+i(ρ-J)

2 方程▽)(ψ+iΦ)=-K+i(ρ-J)的初边值问题

设G是R4中的一个区域,考虑G上关于(ψ+iΦ)的方程

▽)(ψ+iΦ)=-K+i(ρ-J), (10)

(11)

记Ω={(t,x)||x|<1-t,0

(φ2e0+iφ3e1)(0,x)=f2e0+if3e1,

(12)

φ1(0,0,x2,x3)=f1(x2,x3),

(13)

ψ1(0,x)=τ(x),x∈∂B3,

(14)

Re(x2e0-ix3e1)κ[ψ2(0,0,x2,x3)e0+

iψ3(0,0,x2,x3)e1]=r(x2,x3)e0,

(15)

其中

ω(x)=ω1+(ω2e0+iω3e1)e2,

(16)

(17)

2)当κ< 0时,问题可解,当且仅当r′(ζ)满足条件

m=1,2,3,…,-κ-1.

(18)

当此条件满足时,其解仍如结论(1)中式子表示,但其中ψ(t,x)中的ω(x)=ω1e0+(ω2e0+iω3e1)e2,ω1与结论(1)中表示一致,而

(19)

从而可以推出方程(10)及方程组(11)的相容性条件

▽·J=0,

(20)

方程(20)在电动力学中被称为电荷守恒方程[14],以下恒假设ρ及J满足此方程.

定理1对锥形区域ω上的满足方程组

(21)

的向量函数Φ(t,x)的初始条件(12)和(13)的Cauchy问题,有且仅有唯一的解

(22)

其中

(24)

(25)

(26)

证明由(23)和(24)式知,φ2,φ3满足方程及初始条件[15]

(27)

(28)

而C(t,x2,x3)满足方程

(29)

由(25)式与(27)、(28)式,可得

则

从而

即得φ1(t,x)满足方程(30).

将方程(10)化成关于向量函数ψ的方程组

(31)

由此可得定理2.

(32)

其中ω(x)是满足方程▽ω=0的任一向量函数.

τ″(x),x∈∂B,

Re(x2e0-ix3e1)κ[ω2(0,0,x2,x3)e0+iω3(0,0,x2,x3)e1]=

r(x2,x3)e0-im(x2e0-ix3e1)κ×

r″(x2,x3)e0, (x2,x3)∈Г .

定理3(1)当κ≥ 0时,Ω上的方程(10)的问题F有解ψ+iΦ,其中Φ(t,x)如(22)式所示,ψ(t,x)如式(32)所示,ω(x)类似于式(16)和式(17)表示,仅分别用τ″(x)和r″(x2,x3)代替其中的τ′(x)和r′(x2,x3).

(2)当κ< 0时,Ω上的方程(10)的问题F可解,当且仅当r″(ζ)如r′(ζ)满足条件(18),当这些条件满足时,其解ψ+iΦ仍由(22)式与(32)式表示,ψ(t,x)中的ω(x)由τ″(x)和r″(x2,x3)代替(19)式中的τ′(x)和r′(x2,x3).

3 含磁单极子的Maxwell方程组的初边值问题

设G是R4中的一个区域,考虑G上关于(ψ+iΦ)的方程

▽)(ψ+iΦ)=f1+if2,

(33)

(34)

(34)式即为磁单极子存在时的Maxwell方程组.

从而可以推出方程(33)及方程组(34)中的g0、K、ρ、J满足条件

▽·K=0,

(35)

(36)

方程(35)和(36)在电动力学中被称为磁荷守恒方程和电荷守恒方程,以下恒假设g0、K、ρ、J满足方程(35)和(36).对锥形区域Ω上的满足方程组

的向量函数Φ(t,x)的初始条件(12)和(13)的Cauchy问题,有且仅有唯一的解

(38)

其中φ2、φ3、φ1如定理1的(23)～(26)式.

将方程(33)化成关于向量函数ψ的方程组

由此可得定理4.

定理4关于Ω上的向量函数ψ(t,x)的方程组(39)可解的充要条件是Φ(t,x)满足(21)式中的

当此条件满足时,其一般解可表示为

▽×Φ)(ζ,x)dζ+T3[g0-

(40)

其中ω(x)是满足方程▽ω=0的任一向量函数.

τ‴(x),x∈∂B,

Re(x2e0-ix3e1)κ[ω2(0,0,x2,x3)e0+

iω3(0,0,x2,x3)e1]=r(x2,x3)e0-im(x2e0-ix3e1)κ×

r‴(x2,x3)e0, (x2,x3)∈Г.

定理51) 当κ≥ 0时,Ω上的方程(33)的问题F有解ψ+iΦ,其中Φ(t,x)如(38)式所示,ψ(t,x)如(40)式所示,ω(x)类似于(16)和(17)式表示,仅分别用τ‴(x)和r‴(x2,x3)代替其中的τ′(x)和r′(x2,x3).

2) 当κ<0时,Ω上的方程(33)的问题F可解,当且仅当r‴(ζ)如r′(ζ)满足条件(18),当这些条件满足时,其解ψ+iΦ仍由(38)与(40)式表示,ψ(t,x)中的ω(x)由τ‴(x)和r‴(x2,x3)代替 (19)式中的τ′(x)和r′(x2,x3).

磁单极子存在时,电磁关系发生改变,定理5的结论即为磁单极子存在时的Maxwell方程组的初边值问题在不同情况下的解,其中的Φ、ψ即为电场强度和磁场强度函数.

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