En中n维Euler不等式的再改进

陈士龙

(安徽广播影视职业技术学院，安徽 合肥 230011)

0 引言

先简单回顾n维Euler不等式研究的大致过程。

在二维平面上，对于任意三角形，其外接圆半径与内切圆半径间存在如下的不等式关系:

R≥2r

(1)

当且仅当三角形为正三角形时，式(1)等号成立。

文献[1]中将式(1)推广到n维欧氏空间，建立了n维Euler不等式：

R≥nr

(2)

当且仅当单形σn为正则单形时，式(2)等号成立。

1985年，M.S.Klamkin[2]推广了式(2)，得到下面的不等式：

(3)

当且仅当单形σn为正则单形时，式(3)等号成立。

关于n维Euler不等式，文献[3]给出了2种情况的推广：

(4)

当且仅当单形σn为正则单形时，式(4)、式(5)等号成立。

设θ为单形σn的所有对棱所成角的算术平均值，冷岗松[4]对n维Euler不等式作了新的加强：

R2≥cscθ·n2r2

(6)

当且仅当单形σn为正则单形时，式(6)等号成立。

文献[5]对式(2)作了进一步的推广，得到下面的一些结果：

(7)

(8)

当且仅当单形σn为正则单形时，式(7)、(8)、(9)中等号成立。

本文将n维Euler不等式作了新的加强，得到了下面新的几何不等式。

定理1 记F=max{Fi},f=min{Fi}(i=1,2,…,n+1 )，即F与f分别表示单形σn的各侧面面积的最大值和最小值，对En中n维单形σn，下列不等式成立：

(10)

当且仅当单形σn为正则单形时,式(10)等号成立。

1 引理

引理1[6]对En中n维单形σn，下列等式成立：

(11)

当且仅当单形σn为正则单形时,式(11)等号成立。

引理2[7]对n维欧氏空间En中n维单形Ωn，顶点为A1，A2，…，An+1，体积为V，任取k+1个顶点所支撑的k维单形的k维体积为Vi0i1…ik(0≤i0

(12)

引理3[8]对En中n维单形σn，下列不等式成立：

(13)

当且仅当单形σn为正则单形时,式(13)等号成立。

2 定理的证明：

由幂平均不等式得：

(14)

由算术-几何平均不等式得：

(15)

由式(12)和式(15)得：

(16)

结合式(16)和式(13)，可得：

(17)

由式(17)和式(11)得：

(18)

(18)式即为定理1。由证明过程可知，当且仅当单形σn为正则单形时，定理1中等号成立。

参考文献

[1] Klamkin M S,Tsintsifas G A.The circumradius-inradius inequality for a simplex[J].Math Magazine,1979,52(1)：20-22.

[2] K lamkin M S.Inequality for a simlex[J].SIAM Rev.,1986,28(4)：579-580.

[3] Shiguo Y,Jia W.Improvements of n-dimensional Euler inequality[J].Jornal of Gomry,1994,51(1-2):190-195.

[4] 冷岗松.En中Euler不等式的一个加强[J].数学的实践与认识，1995(2)：94-96.

[5] 杨世国.关于n维Euler不等式的一些推广[J].四川大学学报(自然科学版)，2003,40(5):802-805.

[6] 沈文选.单形论导引[M].长沙：湖南师范大学出版社，2000：111-112.

[7] 王文，杨世国.欧氏空间En中Pedoe不等式的推广[J].中国科学技术大学学报，2012，42(11)：913-919.

[8] 陈士龙，杨世国.En中Gerber不等式的加强与应用[J].淮北煤炭师范学院学报(自然科学版)，2007,28(1)：6-9.