概率问题中易错题剖析

姜慧斌

一、 对等可能性的理解有误

例1 一个美国家庭有3个孩子，求这个家庭中有2个女孩和1个男孩的概率.

【错误解法】共有四种情况：男男男，男男女，男女女，女女女.

故得P=.

【错因分析】这是初学概率的人最容易犯的错误. 虽然出现的男孩和女孩的情况只有上述四种，但每一种出现的可能性并不相同，不能忽略概率的等可能性这个重要特征.

【正确解法】考虑三个孩子出生性别的等可能性，画树状图：

类似的问题还有：投掷两枚硬币，求出现一正一反的概率等等，都要注意每一事件出现的等可能性，避免犯类似的错误.

例2 从有2个红球和5个白球的不透明口袋中随机摸取2个球，求这两个球是1个红球和1个白球的概率.

【错误解法】P=×=.

【错因分析】把一次摸两个球看作是连续不放回地摸两次，采用乘法原理分别计算出第一次摸到红球和第二次摸到白球的概率并把它们相乘. 看似正确，但忽略了另一种情况：就是第一次摸到白球，第二次摸到红球的可能. 因为当把一次摸2个球看作是连续不放回地摸两次，每次摸一个球时，要考虑它们出现的不同顺序. 这是很多同学最容易忽略的问题.

【正确解法】P=×+×=.

也可以用列表法求解（a代表红球，b代表白球）：

二、 对有无放回问题的理解有误

例3 现有分别标有1，2，3，4的四张扑克牌：（1） 同时从中任取两张，猜测两数和为奇数的概率；（2） 先从中任取一张，放回后搅匀再取一张，猜测两数和为奇数的概率. 小明说（1）、（2）中两数和为奇数的概率相等；小刚说（1）、（2）中两数和为奇数的概率不相等. 他们俩谁的判断正确？请用画树状图或列表的方法说理.

【错误解法】小明的判断正确. 根据题意，列表1如下：

由表1可知，（1）、（2）两种情况下均有16种等可能的结果，且其中两数和为奇数的都有8种，所以，（1）、（2）中两数和为奇数的概率都等于. 故小明的判断正确.

【错因分析】阅读理解能力欠缺，不能正确获取题中的信息. 因而需要分清题意、理清思路正确求解，如（1）、（2）两题的差别在于“有无放回”，（1）属于“无放回问题”，（2）属于“有放回问题”. 可多数学生认为是一回事，导致出错.

【正确解法】小刚的判断正确. 根据题意（1），列表如下：

由表2可知，（1）的情况下共有12种等可能的结果，其中两数和为奇数的有8种，

所以，（1）中两数和为奇数的概率：=. 由表3可知，（2）的情况下共有16种等可能的结果，其中两数和为奇数的有8种，所以（2）中两数和为奇数的概率：=.

因为>，所以（1）、（2）中两数和为奇数的概率不相等. 故小刚的判断正确.

三、 对频率、概率的理解有误

例4 掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上的概率为0.5. 小刚将一枚均匀的硬币掷了100次，可是出现正面朝上的次数却不是50次，他很纳闷，请你帮他解释一下为什么？

【正确解法】“掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上的概率为0.5”，说明掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上的可能性为，而并不是说每掷两次就有一次正面朝上. 因此掷100次出现正面朝上的次数不一定是50次了.

【错因分析】小刚的错误在于他对“频率”、“概率”的概念还没有清晰的理解. 频率是事件发生的次数与试验总次数的比值，与试验的条件及次数有关；而概率是等可能条件下事件发生的可能性大小，它是由该随机事件的本质所决定的，与试验条件及次数无关. 当试验次数特别多时，频率的值越来越稳定在某一个数值，这个数值就是该事件发生的概率.

同学们，当你学了高中数学以后便可知道，“掷一枚均匀的硬币100次，出现正面朝上的次数是50次”的概率只有8%左右. 类似地，容易产生这样错误认识的问题很多，如：某人购买中奖率为1%的彩票，他认为购买100张肯定中奖，其实不然.

概率在我们的日常生活和科学研究中有着广泛的应用，因此我们要学好概率知识，学会用概率知识去描述和分析现实生活中的一些随机现象，运用概率知识去解决一些简单的实际问题，体会概率模型的作用以及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察和分析问题的意识.

（作者单位：昆山市秀峰中学）

一、 对等可能性的理解有误

例1 一个美国家庭有3个孩子，求这个家庭中有2个女孩和1个男孩的概率.

【错误解法】共有四种情况：男男男，男男女，男女女，女女女.

故得P=.

【错因分析】这是初学概率的人最容易犯的错误. 虽然出现的男孩和女孩的情况只有上述四种，但每一种出现的可能性并不相同，不能忽略概率的等可能性这个重要特征.

【正确解法】考虑三个孩子出生性别的等可能性，画树状图：

类似的问题还有：投掷两枚硬币，求出现一正一反的概率等等，都要注意每一事件出现的等可能性，避免犯类似的错误.

例2 从有2个红球和5个白球的不透明口袋中随机摸取2个球，求这两个球是1个红球和1个白球的概率.

【错误解法】P=×=.

【错因分析】把一次摸两个球看作是连续不放回地摸两次，采用乘法原理分别计算出第一次摸到红球和第二次摸到白球的概率并把它们相乘. 看似正确，但忽略了另一种情况：就是第一次摸到白球，第二次摸到红球的可能. 因为当把一次摸2个球看作是连续不放回地摸两次，每次摸一个球时，要考虑它们出现的不同顺序. 这是很多同学最容易忽略的问题.

【正确解法】P=×+×=.

也可以用列表法求解（a代表红球，b代表白球）：

二、 对有无放回问题的理解有误

例3 现有分别标有1，2，3，4的四张扑克牌：（1） 同时从中任取两张，猜测两数和为奇数的概率；（2） 先从中任取一张，放回后搅匀再取一张，猜测两数和为奇数的概率. 小明说（1）、（2）中两数和为奇数的概率相等；小刚说（1）、（2）中两数和为奇数的概率不相等. 他们俩谁的判断正确？请用画树状图或列表的方法说理.

【错误解法】小明的判断正确. 根据题意，列表1如下：

由表1可知，（1）、（2）两种情况下均有16种等可能的结果，且其中两数和为奇数的都有8种，所以，（1）、（2）中两数和为奇数的概率都等于. 故小明的判断正确.

【错因分析】阅读理解能力欠缺，不能正确获取题中的信息. 因而需要分清题意、理清思路正确求解，如（1）、（2）两题的差别在于“有无放回”，（1）属于“无放回问题”，（2）属于“有放回问题”. 可多数学生认为是一回事，导致出错.

【正确解法】小刚的判断正确. 根据题意（1），列表如下：

由表2可知，（1）的情况下共有12种等可能的结果，其中两数和为奇数的有8种，

所以，（1）中两数和为奇数的概率：=. 由表3可知，（2）的情况下共有16种等可能的结果，其中两数和为奇数的有8种，所以（2）中两数和为奇数的概率：=.

因为>，所以（1）、（2）中两数和为奇数的概率不相等. 故小刚的判断正确.

三、 对频率、概率的理解有误

例4 掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上的概率为0.5. 小刚将一枚均匀的硬币掷了100次，可是出现正面朝上的次数却不是50次，他很纳闷，请你帮他解释一下为什么？

【正确解法】“掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上的概率为0.5”，说明掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上的可能性为，而并不是说每掷两次就有一次正面朝上. 因此掷100次出现正面朝上的次数不一定是50次了.

【错因分析】小刚的错误在于他对“频率”、“概率”的概念还没有清晰的理解. 频率是事件发生的次数与试验总次数的比值，与试验的条件及次数有关；而概率是等可能条件下事件发生的可能性大小，它是由该随机事件的本质所决定的，与试验条件及次数无关. 当试验次数特别多时，频率的值越来越稳定在某一个数值，这个数值就是该事件发生的概率.

同学们，当你学了高中数学以后便可知道，“掷一枚均匀的硬币100次，出现正面朝上的次数是50次”的概率只有8%左右. 类似地，容易产生这样错误认识的问题很多，如：某人购买中奖率为1%的彩票，他认为购买100张肯定中奖，其实不然.

概率在我们的日常生活和科学研究中有着广泛的应用，因此我们要学好概率知识，学会用概率知识去描述和分析现实生活中的一些随机现象，运用概率知识去解决一些简单的实际问题，体会概率模型的作用以及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察和分析问题的意识.

（作者单位：昆山市秀峰中学）

一、 对等可能性的理解有误

例1 一个美国家庭有3个孩子，求这个家庭中有2个女孩和1个男孩的概率.

【错误解法】共有四种情况：男男男，男男女，男女女，女女女.

故得P=.

【错因分析】这是初学概率的人最容易犯的错误. 虽然出现的男孩和女孩的情况只有上述四种，但每一种出现的可能性并不相同，不能忽略概率的等可能性这个重要特征.

【正确解法】考虑三个孩子出生性别的等可能性，画树状图：

类似的问题还有：投掷两枚硬币，求出现一正一反的概率等等，都要注意每一事件出现的等可能性，避免犯类似的错误.

例2 从有2个红球和5个白球的不透明口袋中随机摸取2个球，求这两个球是1个红球和1个白球的概率.

【错误解法】P=×=.

【错因分析】把一次摸两个球看作是连续不放回地摸两次，采用乘法原理分别计算出第一次摸到红球和第二次摸到白球的概率并把它们相乘. 看似正确，但忽略了另一种情况：就是第一次摸到白球，第二次摸到红球的可能. 因为当把一次摸2个球看作是连续不放回地摸两次，每次摸一个球时，要考虑它们出现的不同顺序. 这是很多同学最容易忽略的问题.

【正确解法】P=×+×=.

也可以用列表法求解（a代表红球，b代表白球）：

二、 对有无放回问题的理解有误

例3 现有分别标有1，2，3，4的四张扑克牌：（1） 同时从中任取两张，猜测两数和为奇数的概率；（2） 先从中任取一张，放回后搅匀再取一张，猜测两数和为奇数的概率. 小明说（1）、（2）中两数和为奇数的概率相等；小刚说（1）、（2）中两数和为奇数的概率不相等. 他们俩谁的判断正确？请用画树状图或列表的方法说理.

【错误解法】小明的判断正确. 根据题意，列表1如下：

由表1可知，（1）、（2）两种情况下均有16种等可能的结果，且其中两数和为奇数的都有8种，所以，（1）、（2）中两数和为奇数的概率都等于. 故小明的判断正确.

【错因分析】阅读理解能力欠缺，不能正确获取题中的信息. 因而需要分清题意、理清思路正确求解，如（1）、（2）两题的差别在于“有无放回”，（1）属于“无放回问题”，（2）属于“有放回问题”. 可多数学生认为是一回事，导致出错.

【正确解法】小刚的判断正确. 根据题意（1），列表如下：

由表2可知，（1）的情况下共有12种等可能的结果，其中两数和为奇数的有8种，

所以，（1）中两数和为奇数的概率：=. 由表3可知，（2）的情况下共有16种等可能的结果，其中两数和为奇数的有8种，所以（2）中两数和为奇数的概率：=.

因为>，所以（1）、（2）中两数和为奇数的概率不相等. 故小刚的判断正确.

三、 对频率、概率的理解有误

例4 掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上的概率为0.5. 小刚将一枚均匀的硬币掷了100次，可是出现正面朝上的次数却不是50次，他很纳闷，请你帮他解释一下为什么？

【正确解法】“掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上的概率为0.5”，说明掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上的可能性为，而并不是说每掷两次就有一次正面朝上. 因此掷100次出现正面朝上的次数不一定是50次了.

【错因分析】小刚的错误在于他对“频率”、“概率”的概念还没有清晰的理解. 频率是事件发生的次数与试验总次数的比值，与试验的条件及次数有关；而概率是等可能条件下事件发生的可能性大小，它是由该随机事件的本质所决定的，与试验条件及次数无关. 当试验次数特别多时，频率的值越来越稳定在某一个数值，这个数值就是该事件发生的概率.

同学们，当你学了高中数学以后便可知道，“掷一枚均匀的硬币100次，出现正面朝上的次数是50次”的概率只有8%左右. 类似地，容易产生这样错误认识的问题很多，如：某人购买中奖率为1%的彩票，他认为购买100张肯定中奖，其实不然.

概率在我们的日常生活和科学研究中有着广泛的应用，因此我们要学好概率知识，学会用概率知识去描述和分析现实生活中的一些随机现象，运用概率知识去解决一些简单的实际问题，体会概率模型的作用以及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察和分析问题的意识.

（作者单位：昆山市秀峰中学）