课本问题的拓展延伸

2014-03-11 14:21蒋斌
初中生世界·九年级 2014年2期
关键词:极差雀鸟方差

蒋斌

每年中考数学试题有将近30%的题目出自课本中的典型例题、练习题、习题或复习参考题,因此,同学们要做透课本中的典型例题和习题,要善于用联系的观点研究课本中题目的变式,善于在课本中寻找中考题的“影子”,探索试题与课本题目的结合点,必要时再将这些问题做恰当的分解或整合、延伸或拓展,努力使课本知识更加丰富鲜活. 本文从课本的一道习题出发,通过对其变式、探究、推广,做到举一反三,供同学们学习参考.

原题 (苏科版教材九年级下册第八章第2节练习)某班50名同学的身高如下(单位:cm):

150,148,159,156,157,163,156,164,156,159,169,163,170,162,163,164,155,162,153,155,177,165,160,161,166,159,161,157,155,167,162,165,159,147,163,172,156,165,157,164,152,156,153,164,165,162,167,151,175,162.

(1) 计算这50名同学身高的平均数和方差;

(2) 请用简单随机抽样方法,分别抽取样本容量为20的两个样本,并分别计算这两个样本平均数和方差,它们的结果一致吗?与总体的结果一致吗?

【解析】(1) 平均数为160.58 cm,方差为40.403 6 cm2;

(2) 用简单随机抽样方法,得到的样本一为:

150,151,160,166,172,167,165,156,153,167,159,164,164,157,175,157,162,161,156,159.

平均数为161.05 cm,方差为41.247 5 cm2,大体上与总体一致.

样本二为:

159,162,165,162,155,148,162,156,177,164,159,156,163,161,165,155,163,153,152,163.

平均数为160 cm,方差为36.8 cm2,大体上与总体一致.

说明:本题是典型的统计知识应用问题. 考查了平均数、方差等反映一组数据集中或离散程度的统计量,抽样的方法和用样本估计总体的统计思想. 下面对本题涉及的相关统计知识作适当的拓展探究.

延伸1:数据集中程度

例1 某中学数学兴趣小组12名成员的年龄情况如下:

则这个小组成员年龄的平均数是______,中位数是______.

【解析】本题考查加权平均数和中位数,典型的错误是误认为只有5个数据,从而得到平均数为=(12+13+14+15+16)=14,中位数为12、13、14、15、16最中间的数14. 其实,本题中共12个数据,正确解法为平均数=(12×1+13×1+14×3+15×5+16×2)

=14.5,中位数为第6和第7个数的平均数,即=15.

例2 某公司员工的月工资如下表:

则这组数据的平均数、众数、中位数中哪个统计量能客观描述该公司员工的总体收入情况.

【解析】这组数据的平均数为5 000元、众数3 000元、中位数3 000元. 由于这组数据中个别数据明显偏大,不宜用平均数5 000元反映这组数据的集中程度. 为了排除个别偏大数据对整组数据的影响,可采用中位数3 000元(反映中等水平)或众数3 000元(反映多数水平)描述这组数据的集中程度.

延伸2:数据离散程度

例3 下面是甲、乙两人10次射击成绩(环数)的条形统计图,则下列说法正确的是( ).

A. 甲比乙的成绩稳定

B. 乙比甲的成绩稳定

C. 甲、乙两人的成绩一样稳定

D. 无法确定谁的成绩更稳定

【解析】选B. 从平均数角度看,甲为9环,乙为9环;从极差角度看,甲为2环,乙为2环;但从方差角度看,甲为0.8环2,乙为0.6环2,所以乙比甲的成绩稳定.

说明:极差和方差虽然都可以反映一组数据的波动大小,但极差仅仅是关注了一组数据中的两个极端,而方差反映的是一组数据的平均波动大小,更能客观描述一组数据的离散程度. 有时极差大,方差可能反而小. 如原题中的样本一的极差为25 cm,方差为41.247 5 cm2;样本二的极差为29 cm,方差为36.8 cm2.

延伸3:合理选取样本

例4 要调查城区九年级8 000名学生了解禁毒知识的情况,下列调查方式最合适的是( ).

A. 在某校九年级选取50名女生

B. 在某校九年级选取50名男生

C. 在某校九年级选取50名学生

D. 在城区8000名九年级学生中随机选取50名学生

【解析】选D. 样本的选取要有代表性、广泛性和随机性,故应在城区8 000名九年级学生中随机选取部分学生. 男生或女生不能代表所有学生,一个学校的学生不能代表整个城区的学生.

延伸4:样本估计总体

样本估计总体是统计思想的应用. 样本的容量对估计总体的精度有影响,一般地,容量越大,精度越高.

例5 生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量,设计了如下方案:先捕捉100只雀鸟,给它们做上标记后放回山林;一段时间后,再从中随机捕获500只,其中有标记的雀鸟有5只. 请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约有______只.

【解析】设这片山林中的所有雀鸟为x只,由于先捕捉的100只雀鸟是这片山林中所有雀鸟的一个样本,利用样本估计总体可得=,解得x=10 000. 即这片山林中的所有雀鸟约为10 000只.

例6 2011年5月19日,中国首个旅游日正式启动,某校组织了由八年级800名学生参加的旅游地理知识竞赛,李老师为了了解学生对旅游地理知识的掌握情况,从中随机抽取了部分学生的成绩作为样本,把成绩按优秀、良好、及格、不及格4个级别进行统计,并绘制了如图的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出).

请根据以上提供的信息,解答下列问题:

(1) 求被抽取部分学生的人数;

(2) 请补全条形统计图,并求出扇形统计图中表示及格的扇形的圆心角度数;

(3) 请估计八年级800名学生中达到良好和优秀的总人数.

【解析】(1) 被抽取部分学生的人数为10÷10%=100人;

(2) 正确补全条形统计图:(图略)圆心角度数为360°×(30÷100)=108°.

(3) 八年级800名学生中达到良好和优秀的总人数约为800×(1-10%-30%)

=480(人).

(作者单位:昆山市玉山中学)

每年中考数学试题有将近30%的题目出自课本中的典型例题、练习题、习题或复习参考题,因此,同学们要做透课本中的典型例题和习题,要善于用联系的观点研究课本中题目的变式,善于在课本中寻找中考题的“影子”,探索试题与课本题目的结合点,必要时再将这些问题做恰当的分解或整合、延伸或拓展,努力使课本知识更加丰富鲜活. 本文从课本的一道习题出发,通过对其变式、探究、推广,做到举一反三,供同学们学习参考.

原题 (苏科版教材九年级下册第八章第2节练习)某班50名同学的身高如下(单位:cm):

150,148,159,156,157,163,156,164,156,159,169,163,170,162,163,164,155,162,153,155,177,165,160,161,166,159,161,157,155,167,162,165,159,147,163,172,156,165,157,164,152,156,153,164,165,162,167,151,175,162.

(1) 计算这50名同学身高的平均数和方差;

(2) 请用简单随机抽样方法,分别抽取样本容量为20的两个样本,并分别计算这两个样本平均数和方差,它们的结果一致吗?与总体的结果一致吗?

【解析】(1) 平均数为160.58 cm,方差为40.403 6 cm2;

(2) 用简单随机抽样方法,得到的样本一为:

150,151,160,166,172,167,165,156,153,167,159,164,164,157,175,157,162,161,156,159.

平均数为161.05 cm,方差为41.247 5 cm2,大体上与总体一致.

样本二为:

159,162,165,162,155,148,162,156,177,164,159,156,163,161,165,155,163,153,152,163.

平均数为160 cm,方差为36.8 cm2,大体上与总体一致.

说明:本题是典型的统计知识应用问题. 考查了平均数、方差等反映一组数据集中或离散程度的统计量,抽样的方法和用样本估计总体的统计思想. 下面对本题涉及的相关统计知识作适当的拓展探究.

延伸1:数据集中程度

例1 某中学数学兴趣小组12名成员的年龄情况如下:

则这个小组成员年龄的平均数是______,中位数是______.

【解析】本题考查加权平均数和中位数,典型的错误是误认为只有5个数据,从而得到平均数为=(12+13+14+15+16)=14,中位数为12、13、14、15、16最中间的数14. 其实,本题中共12个数据,正确解法为平均数=(12×1+13×1+14×3+15×5+16×2)

=14.5,中位数为第6和第7个数的平均数,即=15.

例2 某公司员工的月工资如下表:

则这组数据的平均数、众数、中位数中哪个统计量能客观描述该公司员工的总体收入情况.

【解析】这组数据的平均数为5 000元、众数3 000元、中位数3 000元. 由于这组数据中个别数据明显偏大,不宜用平均数5 000元反映这组数据的集中程度. 为了排除个别偏大数据对整组数据的影响,可采用中位数3 000元(反映中等水平)或众数3 000元(反映多数水平)描述这组数据的集中程度.

延伸2:数据离散程度

例3 下面是甲、乙两人10次射击成绩(环数)的条形统计图,则下列说法正确的是( ).

A. 甲比乙的成绩稳定

B. 乙比甲的成绩稳定

C. 甲、乙两人的成绩一样稳定

D. 无法确定谁的成绩更稳定

【解析】选B. 从平均数角度看,甲为9环,乙为9环;从极差角度看,甲为2环,乙为2环;但从方差角度看,甲为0.8环2,乙为0.6环2,所以乙比甲的成绩稳定.

说明:极差和方差虽然都可以反映一组数据的波动大小,但极差仅仅是关注了一组数据中的两个极端,而方差反映的是一组数据的平均波动大小,更能客观描述一组数据的离散程度. 有时极差大,方差可能反而小. 如原题中的样本一的极差为25 cm,方差为41.247 5 cm2;样本二的极差为29 cm,方差为36.8 cm2.

延伸3:合理选取样本

例4 要调查城区九年级8 000名学生了解禁毒知识的情况,下列调查方式最合适的是( ).

A. 在某校九年级选取50名女生

B. 在某校九年级选取50名男生

C. 在某校九年级选取50名学生

D. 在城区8000名九年级学生中随机选取50名学生

【解析】选D. 样本的选取要有代表性、广泛性和随机性,故应在城区8 000名九年级学生中随机选取部分学生. 男生或女生不能代表所有学生,一个学校的学生不能代表整个城区的学生.

延伸4:样本估计总体

样本估计总体是统计思想的应用. 样本的容量对估计总体的精度有影响,一般地,容量越大,精度越高.

例5 生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量,设计了如下方案:先捕捉100只雀鸟,给它们做上标记后放回山林;一段时间后,再从中随机捕获500只,其中有标记的雀鸟有5只. 请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约有______只.

【解析】设这片山林中的所有雀鸟为x只,由于先捕捉的100只雀鸟是这片山林中所有雀鸟的一个样本,利用样本估计总体可得=,解得x=10 000. 即这片山林中的所有雀鸟约为10 000只.

例6 2011年5月19日,中国首个旅游日正式启动,某校组织了由八年级800名学生参加的旅游地理知识竞赛,李老师为了了解学生对旅游地理知识的掌握情况,从中随机抽取了部分学生的成绩作为样本,把成绩按优秀、良好、及格、不及格4个级别进行统计,并绘制了如图的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出).

请根据以上提供的信息,解答下列问题:

(1) 求被抽取部分学生的人数;

(2) 请补全条形统计图,并求出扇形统计图中表示及格的扇形的圆心角度数;

(3) 请估计八年级800名学生中达到良好和优秀的总人数.

【解析】(1) 被抽取部分学生的人数为10÷10%=100人;

(2) 正确补全条形统计图:(图略)圆心角度数为360°×(30÷100)=108°.

(3) 八年级800名学生中达到良好和优秀的总人数约为800×(1-10%-30%)

=480(人).

(作者单位:昆山市玉山中学)

每年中考数学试题有将近30%的题目出自课本中的典型例题、练习题、习题或复习参考题,因此,同学们要做透课本中的典型例题和习题,要善于用联系的观点研究课本中题目的变式,善于在课本中寻找中考题的“影子”,探索试题与课本题目的结合点,必要时再将这些问题做恰当的分解或整合、延伸或拓展,努力使课本知识更加丰富鲜活. 本文从课本的一道习题出发,通过对其变式、探究、推广,做到举一反三,供同学们学习参考.

原题 (苏科版教材九年级下册第八章第2节练习)某班50名同学的身高如下(单位:cm):

150,148,159,156,157,163,156,164,156,159,169,163,170,162,163,164,155,162,153,155,177,165,160,161,166,159,161,157,155,167,162,165,159,147,163,172,156,165,157,164,152,156,153,164,165,162,167,151,175,162.

(1) 计算这50名同学身高的平均数和方差;

(2) 请用简单随机抽样方法,分别抽取样本容量为20的两个样本,并分别计算这两个样本平均数和方差,它们的结果一致吗?与总体的结果一致吗?

【解析】(1) 平均数为160.58 cm,方差为40.403 6 cm2;

(2) 用简单随机抽样方法,得到的样本一为:

150,151,160,166,172,167,165,156,153,167,159,164,164,157,175,157,162,161,156,159.

平均数为161.05 cm,方差为41.247 5 cm2,大体上与总体一致.

样本二为:

159,162,165,162,155,148,162,156,177,164,159,156,163,161,165,155,163,153,152,163.

平均数为160 cm,方差为36.8 cm2,大体上与总体一致.

说明:本题是典型的统计知识应用问题. 考查了平均数、方差等反映一组数据集中或离散程度的统计量,抽样的方法和用样本估计总体的统计思想. 下面对本题涉及的相关统计知识作适当的拓展探究.

延伸1:数据集中程度

例1 某中学数学兴趣小组12名成员的年龄情况如下:

则这个小组成员年龄的平均数是______,中位数是______.

【解析】本题考查加权平均数和中位数,典型的错误是误认为只有5个数据,从而得到平均数为=(12+13+14+15+16)=14,中位数为12、13、14、15、16最中间的数14. 其实,本题中共12个数据,正确解法为平均数=(12×1+13×1+14×3+15×5+16×2)

=14.5,中位数为第6和第7个数的平均数,即=15.

例2 某公司员工的月工资如下表:

则这组数据的平均数、众数、中位数中哪个统计量能客观描述该公司员工的总体收入情况.

【解析】这组数据的平均数为5 000元、众数3 000元、中位数3 000元. 由于这组数据中个别数据明显偏大,不宜用平均数5 000元反映这组数据的集中程度. 为了排除个别偏大数据对整组数据的影响,可采用中位数3 000元(反映中等水平)或众数3 000元(反映多数水平)描述这组数据的集中程度.

延伸2:数据离散程度

例3 下面是甲、乙两人10次射击成绩(环数)的条形统计图,则下列说法正确的是( ).

A. 甲比乙的成绩稳定

B. 乙比甲的成绩稳定

C. 甲、乙两人的成绩一样稳定

D. 无法确定谁的成绩更稳定

【解析】选B. 从平均数角度看,甲为9环,乙为9环;从极差角度看,甲为2环,乙为2环;但从方差角度看,甲为0.8环2,乙为0.6环2,所以乙比甲的成绩稳定.

说明:极差和方差虽然都可以反映一组数据的波动大小,但极差仅仅是关注了一组数据中的两个极端,而方差反映的是一组数据的平均波动大小,更能客观描述一组数据的离散程度. 有时极差大,方差可能反而小. 如原题中的样本一的极差为25 cm,方差为41.247 5 cm2;样本二的极差为29 cm,方差为36.8 cm2.

延伸3:合理选取样本

例4 要调查城区九年级8 000名学生了解禁毒知识的情况,下列调查方式最合适的是( ).

A. 在某校九年级选取50名女生

B. 在某校九年级选取50名男生

C. 在某校九年级选取50名学生

D. 在城区8000名九年级学生中随机选取50名学生

【解析】选D. 样本的选取要有代表性、广泛性和随机性,故应在城区8 000名九年级学生中随机选取部分学生. 男生或女生不能代表所有学生,一个学校的学生不能代表整个城区的学生.

延伸4:样本估计总体

样本估计总体是统计思想的应用. 样本的容量对估计总体的精度有影响,一般地,容量越大,精度越高.

例5 生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量,设计了如下方案:先捕捉100只雀鸟,给它们做上标记后放回山林;一段时间后,再从中随机捕获500只,其中有标记的雀鸟有5只. 请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约有______只.

【解析】设这片山林中的所有雀鸟为x只,由于先捕捉的100只雀鸟是这片山林中所有雀鸟的一个样本,利用样本估计总体可得=,解得x=10 000. 即这片山林中的所有雀鸟约为10 000只.

例6 2011年5月19日,中国首个旅游日正式启动,某校组织了由八年级800名学生参加的旅游地理知识竞赛,李老师为了了解学生对旅游地理知识的掌握情况,从中随机抽取了部分学生的成绩作为样本,把成绩按优秀、良好、及格、不及格4个级别进行统计,并绘制了如图的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出).

请根据以上提供的信息,解答下列问题:

(1) 求被抽取部分学生的人数;

(2) 请补全条形统计图,并求出扇形统计图中表示及格的扇形的圆心角度数;

(3) 请估计八年级800名学生中达到良好和优秀的总人数.

【解析】(1) 被抽取部分学生的人数为10÷10%=100人;

(2) 正确补全条形统计图:(图略)圆心角度数为360°×(30÷100)=108°.

(3) 八年级800名学生中达到良好和优秀的总人数约为800×(1-10%-30%)

=480(人).

(作者单位:昆山市玉山中学)

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