巧作辅助线

董永照

在解决许多几何计算问题时，“解直角三角形”的思想常常会被应用，即考虑将所求元素置于某直角三角形中，通过解直角三角形的方法将它们求出. 在此过程中，常常需添加适当的辅助线，才能构造出想要的直角三角形. 现就常用的添加辅助线的方法作一个简单的介绍：

一、 作三角形的高

若三角形的内角（或外角）中有特殊角时，则可过非特殊角的顶点作三角形的高，构造出含特殊角的直角三角形.

例1 如图1，某公园计划在一块三角形空地上种植草皮以美化环境，已知AB=20 m，AC=30 m，∠A=150°，若这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（ ）元.

A. 450a B. 300a

C. 225a D. 150a

【解析】本题的关键是求△ABC的面积，可选AB作为底，过点C作AB边上的高，如图2. 在Rt△ADC中，已知一边一角（AC=30 m，∠DAC=30°），便可通过解直角三角形求出高CD，进而求出△ABC的面积.

二、 作梯形的双高线

若梯形的内角中有特殊角时，一般可作梯形的双高，可构造出两个含特殊角的直角三角形以及一个矩形.

例2 如图3，有一条人工河，河的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排间隔为50 m的彩灯柱C、D、E…，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=21°，然后沿河岸走了175 m到达B处，测得∠CBN=45°，求这条河的宽度. （参考数据：sin21°≈，tan21°≈）

【解析】如图3，分别过点A、C作AS⊥PQ、CT⊥BN，构造出含有21°、45°的直角三角形. 设出河宽，利用相应的三角函数表示出SD、BT的长，利用等量关系SC=AT，把相关数据代入，即可求得河宽.

三、 连接特殊四边形的对角线

例3 公园里有一块形如图4中四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10 m，∠B=∠C=120°，∠A=45°. 请你求出这块草地的面积.

【解析】若连接BD，则四边形ABCD被分割成等腰△BCD和△ABD，通过计算∠ABD的大小，可以发现△ABD是一个等腰直角三角形，这样便很容易求出四边形ABCD的面积.

四、 延长四边形不相邻的两边

若四边形中相邻的两角互余时，可延长不相邻的两边使之相交，构造出相应的直角三角形.

例4 如图5，在四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠A=30°，∠B=60°，四边形ABCD的面积为5，求AD的长.

【解析】显然在四边形ABCD中，有特殊角∠A和∠B，且它们互余，于是延长AD、BC相交于点E，可得Rt△AEB，进一步可求出AE、BE的长. 最后设AD=x，通过四边形ABCD的面积为5，建立关于x的方程，从而得解.

若四边形中有一对对角均为直角时，可延长不相邻的两边使之相交，构造相应的直角三角形.

例5 如图6，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=BC，AD=7，tanA=2，求CD的长.

【解析】分别延长DC、AB相交于点E，则由题意知：直角三角形△ADE和△CBE的两条直角边之比都是1∶2. 设AB=BC=k，则可得BE=2k，AE=3k，CE=k，DE=14. 进一步，可在Rt△ADE中利用勾股定理，得到关于k的方程，进而可求出CD的长.

（作者单位：苏州市立达中学校）

在解决许多几何计算问题时，“解直角三角形”的思想常常会被应用，即考虑将所求元素置于某直角三角形中，通过解直角三角形的方法将它们求出. 在此过程中，常常需添加适当的辅助线，才能构造出想要的直角三角形. 现就常用的添加辅助线的方法作一个简单的介绍：

一、 作三角形的高

若三角形的内角（或外角）中有特殊角时，则可过非特殊角的顶点作三角形的高，构造出含特殊角的直角三角形.

例1 如图1，某公园计划在一块三角形空地上种植草皮以美化环境，已知AB=20 m，AC=30 m，∠A=150°，若这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（ ）元.

A. 450a B. 300a

C. 225a D. 150a

【解析】本题的关键是求△ABC的面积，可选AB作为底，过点C作AB边上的高，如图2. 在Rt△ADC中，已知一边一角（AC=30 m，∠DAC=30°），便可通过解直角三角形求出高CD，进而求出△ABC的面积.

二、 作梯形的双高线

若梯形的内角中有特殊角时，一般可作梯形的双高，可构造出两个含特殊角的直角三角形以及一个矩形.

例2 如图3，有一条人工河，河的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排间隔为50 m的彩灯柱C、D、E…，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=21°，然后沿河岸走了175 m到达B处，测得∠CBN=45°，求这条河的宽度. （参考数据：sin21°≈，tan21°≈）

【解析】如图3，分别过点A、C作AS⊥PQ、CT⊥BN，构造出含有21°、45°的直角三角形. 设出河宽，利用相应的三角函数表示出SD、BT的长，利用等量关系SC=AT，把相关数据代入，即可求得河宽.

三、 连接特殊四边形的对角线

例3 公园里有一块形如图4中四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10 m，∠B=∠C=120°，∠A=45°. 请你求出这块草地的面积.

【解析】若连接BD，则四边形ABCD被分割成等腰△BCD和△ABD，通过计算∠ABD的大小，可以发现△ABD是一个等腰直角三角形，这样便很容易求出四边形ABCD的面积.

四、 延长四边形不相邻的两边

若四边形中相邻的两角互余时，可延长不相邻的两边使之相交，构造出相应的直角三角形.

例4 如图5，在四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠A=30°，∠B=60°，四边形ABCD的面积为5，求AD的长.

【解析】显然在四边形ABCD中，有特殊角∠A和∠B，且它们互余，于是延长AD、BC相交于点E，可得Rt△AEB，进一步可求出AE、BE的长. 最后设AD=x，通过四边形ABCD的面积为5，建立关于x的方程，从而得解.

若四边形中有一对对角均为直角时，可延长不相邻的两边使之相交，构造相应的直角三角形.

例5 如图6，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=BC，AD=7，tanA=2，求CD的长.

【解析】分别延长DC、AB相交于点E，则由题意知：直角三角形△ADE和△CBE的两条直角边之比都是1∶2. 设AB=BC=k，则可得BE=2k，AE=3k，CE=k，DE=14. 进一步，可在Rt△ADE中利用勾股定理，得到关于k的方程，进而可求出CD的长.

（作者单位：苏州市立达中学校）

在解决许多几何计算问题时，“解直角三角形”的思想常常会被应用，即考虑将所求元素置于某直角三角形中，通过解直角三角形的方法将它们求出. 在此过程中，常常需添加适当的辅助线，才能构造出想要的直角三角形. 现就常用的添加辅助线的方法作一个简单的介绍：

一、 作三角形的高

若三角形的内角（或外角）中有特殊角时，则可过非特殊角的顶点作三角形的高，构造出含特殊角的直角三角形.

例1 如图1，某公园计划在一块三角形空地上种植草皮以美化环境，已知AB=20 m，AC=30 m，∠A=150°，若这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（ ）元.

A. 450a B. 300a

C. 225a D. 150a

【解析】本题的关键是求△ABC的面积，可选AB作为底，过点C作AB边上的高，如图2. 在Rt△ADC中，已知一边一角（AC=30 m，∠DAC=30°），便可通过解直角三角形求出高CD，进而求出△ABC的面积.

二、 作梯形的双高线

若梯形的内角中有特殊角时，一般可作梯形的双高，可构造出两个含特殊角的直角三角形以及一个矩形.

例2 如图3，有一条人工河，河的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排间隔为50 m的彩灯柱C、D、E…，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=21°，然后沿河岸走了175 m到达B处，测得∠CBN=45°，求这条河的宽度. （参考数据：sin21°≈，tan21°≈）

【解析】如图3，分别过点A、C作AS⊥PQ、CT⊥BN，构造出含有21°、45°的直角三角形. 设出河宽，利用相应的三角函数表示出SD、BT的长，利用等量关系SC=AT，把相关数据代入，即可求得河宽.

三、 连接特殊四边形的对角线

例3 公园里有一块形如图4中四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10 m，∠B=∠C=120°，∠A=45°. 请你求出这块草地的面积.

【解析】若连接BD，则四边形ABCD被分割成等腰△BCD和△ABD，通过计算∠ABD的大小，可以发现△ABD是一个等腰直角三角形，这样便很容易求出四边形ABCD的面积.

四、 延长四边形不相邻的两边

若四边形中相邻的两角互余时，可延长不相邻的两边使之相交，构造出相应的直角三角形.

例4 如图5，在四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠A=30°，∠B=60°，四边形ABCD的面积为5，求AD的长.

【解析】显然在四边形ABCD中，有特殊角∠A和∠B，且它们互余，于是延长AD、BC相交于点E，可得Rt△AEB，进一步可求出AE、BE的长. 最后设AD=x，通过四边形ABCD的面积为5，建立关于x的方程，从而得解.

若四边形中有一对对角均为直角时，可延长不相邻的两边使之相交，构造相应的直角三角形.

例5 如图6，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=BC，AD=7，tanA=2，求CD的长.

【解析】分别延长DC、AB相交于点E，则由题意知：直角三角形△ADE和△CBE的两条直角边之比都是1∶2. 设AB=BC=k，则可得BE=2k，AE=3k，CE=k，DE=14. 进一步，可在Rt△ADE中利用勾股定理，得到关于k的方程，进而可求出CD的长.

（作者单位：苏州市立达中学校）