感悟“锐角三角函数”中的数学思想

丁寅

我们在研究和解决有关数学问题时常常采用某种手段将问题通过变换使之转化，一般总是将复杂问题转化为简单问题，将难解的问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题，这就是化归思想的应用.

1. 非特殊角的问题转化成特殊角问题

30°、45°、60°的角称为特殊角，特殊角的三角函数值容易计算，用在解决问题中就很方便. 除此以外的某些非特殊角可以通过构造的方法，将它们转化成特殊角的和、差、倍、分，从而借助特殊角的三角函数值解决问题.

例1 求15°角的正切、正弦和余弦.

【解析】如图1，△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，在AC上取一点D，使得AD=BD，则∠BDC=30°. 设BC=1，则CD=，AD=BD=2，由勾股定理可得AB=+.

所以可得tan15°===2-；sin15°===；

cos15°===.

2. 斜三角形转化成直角三角形

直角三角形中除直角外的5个元素（2个锐角、3条边），已知其中的两个元素（至少有一边），就可以求出其余3个元素. 若三角形为斜三角形，可以通过添加适当的辅助线，将斜三角形转化成直角三角形，从而运用解直角三角形的有关知识解决斜三角形的问题.

例2 （2013·十堰）如图2，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为______米（保留根号）.

【解析】本题中的△ABC为钝角三角形，但易得∠B=30°，∠C=45°，均为特殊角，容易想到过点A向BC作垂线段AD，构造Rt△ABD、Rt△ACD. 因为在Rt△ACD中， AC=30×25=750，∠C=45°，所以AD==375. 又因为在Rt△ABD中，AD=375，∠B=30°，所以AB=2AD=750. 即A，B两点间的距离为750米.

锐角三角函数中的各种数学思想需要同学们在不同的教学内容中提炼、总结与应用，只有经历这样的过程，才能“悟”出数学知识、技能中蕴含的数学思想.

（作者单位：苏州市草桥中学校）

我们在研究和解决有关数学问题时常常采用某种手段将问题通过变换使之转化，一般总是将复杂问题转化为简单问题，将难解的问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题，这就是化归思想的应用.

1. 非特殊角的问题转化成特殊角问题

30°、45°、60°的角称为特殊角，特殊角的三角函数值容易计算，用在解决问题中就很方便. 除此以外的某些非特殊角可以通过构造的方法，将它们转化成特殊角的和、差、倍、分，从而借助特殊角的三角函数值解决问题.

例1 求15°角的正切、正弦和余弦.

【解析】如图1，△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，在AC上取一点D，使得AD=BD，则∠BDC=30°. 设BC=1，则CD=，AD=BD=2，由勾股定理可得AB=+.

所以可得tan15°===2-；sin15°===；

cos15°===.

2. 斜三角形转化成直角三角形

直角三角形中除直角外的5个元素（2个锐角、3条边），已知其中的两个元素（至少有一边），就可以求出其余3个元素. 若三角形为斜三角形，可以通过添加适当的辅助线，将斜三角形转化成直角三角形，从而运用解直角三角形的有关知识解决斜三角形的问题.

例2 （2013·十堰）如图2，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为______米（保留根号）.

【解析】本题中的△ABC为钝角三角形，但易得∠B=30°，∠C=45°，均为特殊角，容易想到过点A向BC作垂线段AD，构造Rt△ABD、Rt△ACD. 因为在Rt△ACD中， AC=30×25=750，∠C=45°，所以AD==375. 又因为在Rt△ABD中，AD=375，∠B=30°，所以AB=2AD=750. 即A，B两点间的距离为750米.

锐角三角函数中的各种数学思想需要同学们在不同的教学内容中提炼、总结与应用，只有经历这样的过程，才能“悟”出数学知识、技能中蕴含的数学思想.

（作者单位：苏州市草桥中学校）

我们在研究和解决有关数学问题时常常采用某种手段将问题通过变换使之转化，一般总是将复杂问题转化为简单问题，将难解的问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题，这就是化归思想的应用.

1. 非特殊角的问题转化成特殊角问题

30°、45°、60°的角称为特殊角，特殊角的三角函数值容易计算，用在解决问题中就很方便. 除此以外的某些非特殊角可以通过构造的方法，将它们转化成特殊角的和、差、倍、分，从而借助特殊角的三角函数值解决问题.

例1 求15°角的正切、正弦和余弦.

【解析】如图1，△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，在AC上取一点D，使得AD=BD，则∠BDC=30°. 设BC=1，则CD=，AD=BD=2，由勾股定理可得AB=+.

所以可得tan15°===2-；sin15°===；

cos15°===.

2. 斜三角形转化成直角三角形

直角三角形中除直角外的5个元素（2个锐角、3条边），已知其中的两个元素（至少有一边），就可以求出其余3个元素. 若三角形为斜三角形，可以通过添加适当的辅助线，将斜三角形转化成直角三角形，从而运用解直角三角形的有关知识解决斜三角形的问题.

例2 （2013·十堰）如图2，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为______米（保留根号）.

【解析】本题中的△ABC为钝角三角形，但易得∠B=30°，∠C=45°，均为特殊角，容易想到过点A向BC作垂线段AD，构造Rt△ABD、Rt△ACD. 因为在Rt△ACD中， AC=30×25=750，∠C=45°，所以AD==375. 又因为在Rt△ABD中，AD=375，∠B=30°，所以AB=2AD=750. 即A，B两点间的距离为750米.

锐角三角函数中的各种数学思想需要同学们在不同的教学内容中提炼、总结与应用，只有经历这样的过程，才能“悟”出数学知识、技能中蕴含的数学思想.

（作者单位：苏州市草桥中学校）