“恒成立”与“能成立”问题辨析

苗孟义

提问： 有道题是这样的：“已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2-bx （a，b∈R）.令h（x）=f（x）+g（x）.当a=，b≥2时，若对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立，求实数b的值”.

“对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”这句话，我不是太理解，究竟意味着什么呢？

回答： 这位同学的困惑其实是由于不理解恒成立的含义造成的. “恒成立”和“能成立”问题是一类非常典型的数学问题. 只有先准确理解其含义，才能实现问题的等价转化.

恒成立，要求自变量在给定区间内可取任意值，即给定区间内所有x均能满足条件.

能成立，要求满足条件的自变量在给定区间内存在，即给定区间内有一个x能满足条件即可.

我们再来看题目，“对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”，就是要求区间[1，2]上所有的实数x1，x2（x1≠x2）都能够使f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立.也就是说f（x1）-f（x2）的最小值要大于g（x1）-g（x2）的最大值，即f（x1）-f（x2）min>g（x1）-g（x2）max.

对于我省高考中常见的恒成立与能成立问题，存在以下结论（结论均建立在函数在给定区间内存在最值的前提下）：

①对任意x∈D，不等式f（x）≤g（x）恒成立[f（x）-g（x）]max≤0；

②对任意x∈D，不等式f（x）≥g（x）恒成立[f（x）-g（x）]min≥0；

③若存在x∈D，使不等式f（x）≤g（x）能成立[f（x）-g（x）]min≤0；

④若存在x∈D，使不等式f（x）≥g（x）能成立[f（x）-g（x）]max≥0.

例1 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，对任意的实数x∈[1，2]，f（x）≤g′（x）恒成立，求实数b的取值范围.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因为x∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函数φ（x）单调递减.要使f（x）≤g′（x）在x∈[1，2]上恒成立，只需φ（x）max≤0，即φ（1）=b-1≤0.所以实数b的取值范围为（-∞，1].

例2 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，若存在实数x∈[1，2]，使不等式f（x）≥g′（x）成立，求实数b的取值范围.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因为x∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函数φ（x）单调递减.要使f（x）≥g′（x）在x∈[1，2]能成立，只需φ（x）max≥0，即φ（1）=b-1≥0，所以实数b的取值范围为[1，+∞）.

有时题目中会包含两个自变量，要求分析两个函数大小关系恒成立或能成立的条件.通过对函数图象的分析，我们可以得到以下几个结论（结论同样建立在函数在给定区间内存在最值的前提下）：

⑤对任意x∈D1，任意X∈D2，不等式f（x）≤g（X）恒成立f（x）max≤g（X）min.

如图1所示，要使f（x）≤g（X）恒成立，则给定区间D2内函数g（X）的图象要恒在给定区间D1内函数f（x）的图象上方，即f（x）max≤g（X）min.同理，以下结论同学们可以参照结论⑤自行推导.

⑥对任意x∈D1，若存在X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）max≤g（X）max.

⑦若存在x∈D1，对任意X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）min≤g（X）min.

⑧若存在x∈D1，存在X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）min≤g（X）max.

解答恒成立与能成立问题，首先要理解其含义，只有准确理解了含义，才能实现问题的正确转化.上述结论是比较常用的，但因为问题形式千变万化，题目亦常考常新，因此在平常的训练中需要不断领悟和总结，提高这类题的解答能力.

对任意x∈D，不等式f（x）≤g（x）恒成立[f（x）-g（x）]max≤0；

对任意x∈D，不等式f（x）≥g（x）恒成立[f（x）-g（x）]min≥0；

若存在x∈D，使不等式f（x）≤g（x）能成立[f（x）-g（x）]min≤0；

若存在x∈D，使不等式f（x）≥g（x）能成立[f（x）-g（x）]max≥0.

提问： 有道题是这样的：“已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2-bx （a，b∈R）.令h（x）=f（x）+g（x）.当a=，b≥2时，若对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立，求实数b的值”.

“对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”这句话，我不是太理解，究竟意味着什么呢？

回答： 这位同学的困惑其实是由于不理解恒成立的含义造成的. “恒成立”和“能成立”问题是一类非常典型的数学问题. 只有先准确理解其含义，才能实现问题的等价转化.

恒成立，要求自变量在给定区间内可取任意值，即给定区间内所有x均能满足条件.

能成立，要求满足条件的自变量在给定区间内存在，即给定区间内有一个x能满足条件即可.

我们再来看题目，“对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”，就是要求区间[1，2]上所有的实数x1，x2（x1≠x2）都能够使f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立.也就是说f（x1）-f（x2）的最小值要大于g（x1）-g（x2）的最大值，即f（x1）-f（x2）min>g（x1）-g（x2）max.

对于我省高考中常见的恒成立与能成立问题，存在以下结论（结论均建立在函数在给定区间内存在最值的前提下）：

①对任意x∈D，不等式f（x）≤g（x）恒成立[f（x）-g（x）]max≤0；

②对任意x∈D，不等式f（x）≥g（x）恒成立[f（x）-g（x）]min≥0；

③若存在x∈D，使不等式f（x）≤g（x）能成立[f（x）-g（x）]min≤0；

④若存在x∈D，使不等式f（x）≥g（x）能成立[f（x）-g（x）]max≥0.

例1 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，对任意的实数x∈[1，2]，f（x）≤g′（x）恒成立，求实数b的取值范围.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因为x∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函数φ（x）单调递减.要使f（x）≤g′（x）在x∈[1，2]上恒成立，只需φ（x）max≤0，即φ（1）=b-1≤0.所以实数b的取值范围为（-∞，1].

例2 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，若存在实数x∈[1，2]，使不等式f（x）≥g′（x）成立，求实数b的取值范围.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因为x∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函数φ（x）单调递减.要使f（x）≥g′（x）在x∈[1，2]能成立，只需φ（x）max≥0，即φ（1）=b-1≥0，所以实数b的取值范围为[1，+∞）.

有时题目中会包含两个自变量，要求分析两个函数大小关系恒成立或能成立的条件.通过对函数图象的分析，我们可以得到以下几个结论（结论同样建立在函数在给定区间内存在最值的前提下）：

⑤对任意x∈D1，任意X∈D2，不等式f（x）≤g（X）恒成立f（x）max≤g（X）min.

如图1所示，要使f（x）≤g（X）恒成立，则给定区间D2内函数g（X）的图象要恒在给定区间D1内函数f（x）的图象上方，即f（x）max≤g（X）min.同理，以下结论同学们可以参照结论⑤自行推导.

⑥对任意x∈D1，若存在X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）max≤g（X）max.

⑦若存在x∈D1，对任意X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）min≤g（X）min.

⑧若存在x∈D1，存在X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）min≤g（X）max.

解答恒成立与能成立问题，首先要理解其含义，只有准确理解了含义，才能实现问题的正确转化.上述结论是比较常用的，但因为问题形式千变万化，题目亦常考常新，因此在平常的训练中需要不断领悟和总结，提高这类题的解答能力.

对任意x∈D，不等式f（x）≤g（x）恒成立[f（x）-g（x）]max≤0；

对任意x∈D，不等式f（x）≥g（x）恒成立[f（x）-g（x）]min≥0；

若存在x∈D，使不等式f（x）≤g（x）能成立[f（x）-g（x）]min≤0；

若存在x∈D，使不等式f（x）≥g（x）能成立[f（x）-g（x）]max≥0.

提问： 有道题是这样的：“已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2-bx （a，b∈R）.令h（x）=f（x）+g（x）.当a=，b≥2时，若对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立，求实数b的值”.

“对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”这句话，我不是太理解，究竟意味着什么呢？

回答： 这位同学的困惑其实是由于不理解恒成立的含义造成的. “恒成立”和“能成立”问题是一类非常典型的数学问题. 只有先准确理解其含义，才能实现问题的等价转化.

恒成立，要求自变量在给定区间内可取任意值，即给定区间内所有x均能满足条件.

能成立，要求满足条件的自变量在给定区间内存在，即给定区间内有一个x能满足条件即可.

我们再来看题目，“对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”，就是要求区间[1，2]上所有的实数x1，x2（x1≠x2）都能够使f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立.也就是说f（x1）-f（x2）的最小值要大于g（x1）-g（x2）的最大值，即f（x1）-f（x2）min>g（x1）-g（x2）max.

对于我省高考中常见的恒成立与能成立问题，存在以下结论（结论均建立在函数在给定区间内存在最值的前提下）：

①对任意x∈D，不等式f（x）≤g（x）恒成立[f（x）-g（x）]max≤0；

②对任意x∈D，不等式f（x）≥g（x）恒成立[f（x）-g（x）]min≥0；

③若存在x∈D，使不等式f（x）≤g（x）能成立[f（x）-g（x）]min≤0；

④若存在x∈D，使不等式f（x）≥g（x）能成立[f（x）-g（x）]max≥0.

例1 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，对任意的实数x∈[1，2]，f（x）≤g′（x）恒成立，求实数b的取值范围.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因为x∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函数φ（x）单调递减.要使f（x）≤g′（x）在x∈[1，2]上恒成立，只需φ（x）max≤0，即φ（1）=b-1≤0.所以实数b的取值范围为（-∞，1].

例2 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，若存在实数x∈[1，2]，使不等式f（x）≥g′（x）成立，求实数b的取值范围.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因为x∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函数φ（x）单调递减.要使f（x）≥g′（x）在x∈[1，2]能成立，只需φ（x）max≥0，即φ（1）=b-1≥0，所以实数b的取值范围为[1，+∞）.

有时题目中会包含两个自变量，要求分析两个函数大小关系恒成立或能成立的条件.通过对函数图象的分析，我们可以得到以下几个结论（结论同样建立在函数在给定区间内存在最值的前提下）：

⑤对任意x∈D1，任意X∈D2，不等式f（x）≤g（X）恒成立f（x）max≤g（X）min.

如图1所示，要使f（x）≤g（X）恒成立，则给定区间D2内函数g（X）的图象要恒在给定区间D1内函数f（x）的图象上方，即f（x）max≤g（X）min.同理，以下结论同学们可以参照结论⑤自行推导.

⑥对任意x∈D1，若存在X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）max≤g（X）max.

⑦若存在x∈D1，对任意X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）min≤g（X）min.

⑧若存在x∈D1，存在X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）min≤g（X）max.

解答恒成立与能成立问题，首先要理解其含义，只有准确理解了含义，才能实现问题的正确转化.上述结论是比较常用的，但因为问题形式千变万化，题目亦常考常新，因此在平常的训练中需要不断领悟和总结，提高这类题的解答能力.

对任意x∈D，不等式f（x）≤g（x）恒成立[f（x）-g（x）]max≤0；

对任意x∈D，不等式f（x）≥g（x）恒成立[f（x）-g（x）]min≥0；

若存在x∈D，使不等式f（x）≤g（x）能成立[f（x）-g（x）]min≤0；

若存在x∈D，使不等式f（x）≥g（x）能成立[f（x）-g（x）]max≥0.