心形线双曲拱坝三维建模

赵海峰， 杜廷娜， 叶荣波， 赵海波

（1. 重庆交通大学，重庆 400074；2. 同兴源工程勘察设计有限公司，四川 成都 610000；3. 安徽省建设工程勘察设计院北京分院，北京 100039）

心形线双曲拱坝三维建模

赵海峰1， 杜廷娜1， 叶荣波2， 赵海波3

（1. 重庆交通大学，重庆 400074；2. 同兴源工程勘察设计有限公司，四川 成都 610000；3. 安徽省建设工程勘察设计院北京分院，北京 100039）

心形线作为几何数学上最美最浪漫的一条曲线，第一次在拱坝设计中研究应用。在研究心形线几何特性时，发现有一段非常扁平的曲线，作为拱坝中轴线非常适合，可以使得拱坝的合力方向向山里偏转，有利于坝肩的稳定。因此，研究心形线作为拱坝的一种新线形，理论上具有可行性，并在实际工程中有一定的应用参考价值。该文在研究心形线双曲拱坝各种参数的基础上，建立心形线双曲拱坝的数学方程，实现图形的三维建模，为拱坝下一步进行有限元分析提供精确的三维模型，也为今后拱坝坝型的设计提供更多的选择和有意义的参考。

计算机应用；心形线；中轴线；双曲拱坝；三维建模

心形线最早是由法国著名的哲学家、科学家和数学家勒内·笛卡尔(Rene Descartes)提出的，心形线的形成是由动圆上的一个固定点，绕着与其相切且半径相同的另外一个固定的基圆圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名。

心形线作为数学上浪漫而优美的曲线，其本身的魅力不仅受到了数学家们的青睐，同时在生活中也得到了广泛的应用。人们在研究笛卡尔提出的心形线时，根据其几何意义和物理意义研发出先进的技术产品，使其数理意义得到升华；同理，在工程上的应用，通过与实际工程结合，发现心形线具有创新与发展的广阔空间。在心形线参数变化过程中，可以得到一段非常扁平的曲线，这与拱坝设计中拱圈中轴线的线型选择相当契合。当拱坝设计者审慎地对坝基勘探和处理后，希望坝体体形也趋于扁平化，使拱端的合力方向向山里偏转，以利于坝肩的稳定。这意味着，心形线双曲拱坝很可能在某些方面会优于其他圆弧或非圆弧双曲拱坝。因此，本文研究了心形线双曲变厚拱坝的几何建模，并利用C++语言编程，进而在CAD平台上得到心形线双曲拱坝的仿真形体，为拱坝下一步进行有限元分析提供精确的三维体型[1]。

1 心形线

1.1 心形线的方程

心形线极坐标方程：

式中，r为极径，a为基圆的直径，θ为极角。两个方程分别对应不同方向上的图形，图1所示为垂直方向上其中一个方程的图形。

图1 r=a×(1 +sinθ)的心形线图形

根据上述极坐标方程可以得到心形线的参数方程：

再根据心形线的参数方程，我们得到其直角坐标方程：

1.2 心形线的性质

心形线可以是一垂足曲线，同时也是圆的包络线，并且对于任意斜率，心形线都拥有三条互相平行的切线。心形线包围的面积为心形线的周长为 8a。

1.3 心形线的应用领域

心形线的出现首先来源于大自然的鬼斧神工以及生物的物竞天择，比如心形的岛屿、湖泊、湿地、森林、珊瑚礁等，这就引起了人们用数学语言，几何方式去诠释这种自然现象的兴趣，并促进了心形线在各个工程领域的应用，并开发成各种工业产品，例如心形线电话筒，手机，发动机等。

2 心形线拱坝数学模型

为方便研究和量化说明，现以国内某工程实例为依托，建立数学模型。可以将拱坝看成由若干水平拱圈按照一定的规律连续变化而形成[2]，因而，对拱坝形体的数学模型研究可以转化为对拱圈数学模型的研究[3]。

2.1 心形线拱圈中轴线方程的建立

心形线拱圈中轴线方程的建立主要受到工程所处的地形地质参数，以及拱坝中心角选取的影响[4]。由于心形线在拱圈线形中的应用在国内外尚未出现，但依据拱坝设计规范，水平拱圈的最大中心角应根据应力、稳定性、工程量等因素，选为75°～110°。因此，结合已建工程的经验，我们设定了最大的中心角，以及坝顶和其他拱圈的中心角；根据已得到的中心角φ，由心形线的极角θ与拱圈中心角的关系，可以计算得到参数方程的极角数值；再根据各层拱圈的水平间距L，结合心形线的参数方程，最终得到每一层拱圈中轴线的坐标值。图2所示为心形线作为拱坝中轴线的坐标计算图形。

图2 心形线的坐标图形

拱圈中轴线的顶点一般都是位于坐标原点的，因此由上述方程得到的坐标还需要将纵坐标进一步变换，即：

2.2 心形线拱圈上下游拱弧方程的推导

拱圈上下游的坐标主要是根据密切圆包络线法得到，以中轴线上的点为圆心，再根据相应中心角，以及相对应的厚度为直径，当这些密切圆足够多足够紧密时，可以拟合出上下游拱圈[5]，如图3所示。

图3 心形线包络圆拟合拱圈的图形

再由拱圈通用公式确定拱圈上下游面的坐标[4]，其中左半拱为：

右半拱：

式中， xu， yu为拱圈上游面的坐标； xd， yd为拱圈下游面的坐标；t为拱圈的厚度。

经验表明，拱座的弯矩一般大于拱冠的弯矩，因此，拱座的应力通常大于拱冠，为了节省混凝土，坝体厚度应由拱冠向拱座逐渐增加，这种厚度的变化是渐变的，厚度 t随角度φ变化的方程为：

式中， tc， tAR， tAL分别为拱冠、右拱座、左拱座的厚度；γ 为指数。

根据以上拱圈每一角度对应的厚度，以及中轴线的坐标，即可得出上下游的坐标，进而得到上下游曲线，如图4所示。

图4 拱圈上下游坐标图形

3 拱坝三维实体模型的编程与实现

3.1 C++编程的主要代码

通过以上方程的推导，如果用一般方法计算是相当繁琐的[6]。尤其是在拱圈要求拟合的非常平滑过程中，更是要对中心角进行0.1°的划分，这样计算的复杂性与重复性将是手动无法完成的，因此只能用程序化来实现最终图形。现利用C++语言编制心形线双曲变厚拱坝程序，其主要程序代码如下：

3.2 CAD生成三维实体模型

根据以上C++程序，首先生成后缀为scr的文件，然后将文件导入AutoCAD平台中，这样就可以自动生成拱坝线框模型，如图5所示。

图5 心形线双曲拱坝的线框模型

但这仅仅是拱圈的线框模型，为了更好的模拟拱坝体型，以及在实际工程中进行应力与应变的分析模拟测试，需要对这些线框模型在 CAD中进行放样来生成三维实体模型。但由于每一层拱圈都是以0.1°来划分取点的，这就导致拱圈的点相对较多，图形的数据量会很大，软件处理起来会相对较慢，由于计算机本身的限制，本次计算机模拟只能一层一层的进行放样；又因为每一层拱圈所对应的中心角是不同的，这就导致了上一层拱圈与下一层拱圈上的点数不一致的情况，这就要求在放样的过程中需要注意调节与控制，避免出现图形的扭曲。拾取上一层拱圈与下一层拱圈的点尽量相同，可以取得比较理想的三维形体。本次放样主要拾取的是左半拱圈的下游起点，这样就可能减少不必要的扭曲，最终得到三维实体模型，如图6所示。再通过不同视角的渲染输出，就可得到拱坝的渲染图形，如图7所示。

图6 心形线双曲拱坝的实体模型

图7 心形线双曲拱坝三维渲染模型

4 结 论

心形线在拱坝线形中的理论研究与实际应用之前都没有出现过，本文尚属第一次，因此，为了更合理的、更充分的说明其在拱坝线形中应用的合理性，尝试了在相同的地形参数，中心角参数的情况下，心形线作为拱圈中轴线与抛物线作为拱圈中轴线的对比，如图8所示。

图8 心形线与抛物线作为中轴线的对比

从图8中我们可以清楚地看到，心形线的线形明显要比抛物线的线形要扁平，这必然会使得拱坝两边坝肩的应力方向更加向山里的岩基偏转，从而减少坝肩向下游滑动的因素；同时，由于心形线的弧长也小于抛物线的弧长，这也将有利于减少浇筑拱坝混凝土的体积。

在结合已建工程的基础上，尝试了心形线双曲变厚拱坝的创新设计与研究，并且通过数学几何建模，C++语言编程，AutoCAD三维建模，最终得到了心形线双曲变厚拱坝三维实体模型。该模型可以作为有限元分析软件的原始模型，为下一步实现应力分析与体型优化奠定基础[7]。心形线在拱坝上的应用还没出现，包括其在工程上的应用也相对不多，但作为一种参数化的优美曲线，其本身具备数学建模以及联系工程实际的特性，因此，心形线双曲变厚拱坝的提出及体型优化将为新的拱坝研究与发展提供理论基础和科学依据。

[1] 潘家铮. 拱坝[M]. 北京: 水利电力出版社, 1982: 21-25.

[2] 朱伯芳. 中国拱坝的建设的成就[J]. 水利发电, 1999, 45(10): 38-40.

[3] 朱伯芳, 高季章, 陈祖煜, 厉易生. 拱坝设计与研究[M].北京: 中国水利水电出版社, 2002: 52-56.

[4] 周 伟, 叶 林, 李蒲建, 宋卫峰. 对数螺旋线与对数螺旋型拱坝研究[J]. 电网与水力发电进展, 2008, (3): 66-69.

[5] 欧阳建国. 拱坝CADC的理论与实践[M]. 武汉: 武汉大学出版社, 2003: 41-45.

[6] 林继镛. 水工建筑物[M]. 北京: 中国水利水电出版社, 2009: 143-146.

[7] 陈晓年, 常晓林. 拱坝体形优化研究进展[J]. 湖北水利发电, 2008, 76(3): 31-35.

3D Modeling of Cardioid Dome Dam

Zhao Haifeng1, Du Tingna1, Ye Rongbo2, Zhao Haibo3
(1. Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074, China; 2. Tong Xingxuan Engineering Survey and Design Limited Company, Chengdu Sichuan 610000, China; 3. Construction Survey and Design Institute of Anhui Province, Beijing Branch, Beijing 100039, China)

As the most beautiful and the most romantic curve, the cardioid is designed and applied in arch dam for the first time. In researching the geometric characteristics of cardioid, we find a length of very flat curve in it, which is suitable as the axle wire of arch dam, for it can make the resultant force direction of arch dam deflect to the mountain. Therefore, it has a certain applicable value to research cardioid as a new line type of arch dam. Based on researching various parameters of cardioid dome dam, this article establishes mathematical equations of cardioid dome dam, and adopts 3D modeling. It will provide an accurate model for finite element analysis in next step. And it will also provide more selections and meaningful reference for arch dam designing.

computer application; cardioid; axle wire; dome dam; 3D modeling

TP 339

A

2095-302X (2014)02-0195-05

2013-03-10；定稿日期：2013-03-26

重庆交通大学国家内河航道整治工程技术研究中心开放基金资助项目（SLK2010A01）

赵海峰（1987-），男，河南安阳人，硕士研究生。主要研究方向为水利工程。E-mail：robbert378@sohu.com