RL型截面冷弯薄壁型钢的畸变屈曲荷载算式

姚 谏，卢哲刚

（1.浙江树人大学 城建学院，杭州 310015；2.浙江大学 结构工程研究所，杭州 310058；3.浙江绿城建筑设计有限公司，杭州 310007；）

RL型截面冷弯薄壁型钢的畸变屈曲荷载算式

姚 谏1，2，卢哲刚2，3

（1.浙江树人大学 城建学院，杭州 310015；2.浙江大学 结构工程研究所，杭州 310058；3.浙江绿城建筑设计有限公司，杭州 310007；）

为了对RL型截面冷弯薄壁型钢的畸变屈曲作进一步研究，以既有研究成果为基础，根据广义梁理论推导了两端简支和固支边界条件下RL型截面冷弯薄壁型钢的畸变屈曲荷载计算式。通过求解矩阵的广义特征值，利用推导的算式计算RL型截面型钢构件在轴压、绕弱轴和强轴弯曲下的畸变屈曲荷载和屈曲半波长，并与有限条软件CUFSM分析结果和既有理论公式的解相比，结果表明所得算式具有较高的精度。公式推导过程和结论可以为工程设计和进一步研究中计算畸变屈曲荷载提供参考。

冷弯薄壁型钢；RL型截面；广义梁理论；荷载

畸变屈曲作为控制冷弯薄壁型钢设计的一种重要屈曲模式，得到了研究人员的高度关注和广泛研究。迄今为止，研究最多的发生畸变屈曲的典型截面有以下3种：普通卷边槽型或卷边Z型（以下简称C或Z型）、带后翼缘的槽型（以下简称RA型［1］）和带后翼缘与后卷边的槽型（以下简称RL型［1］）。对于笔者研究的RL型截面（见图1），文献［2］基于稳定理论，给出了轴心压力作用下两端简支构件的畸变屈曲荷载计算式；文献［3］采用与文献［2］相同的模型，对腹板提供给翼缘的转动约束刚度进行深入的研究，给出了两端简支的RL型截面构件在轴心压力和绕弱轴弯矩作用下的畸变屈曲荷载简化计算式。已有的对C或Z型、RA型截面的研究中［4－11］，广义梁理论（Generalized Beam Theory，以下简称GBT）给出的计算结果常可以作为其他研究的精确解，文献［4］、［12-15］给出了 C或Z型、RA 型截面在多种边界和荷载情况下的畸变屈曲荷载计算公式，但对于RL型截面目前仍没有相应的计算式。笔者根据GBT的基本原理，推导了两端简支和固支的RL型截面构件，在轴心压力、绕弱轴和强轴弯矩作用下的计算式。需要说明的是，笔者基于GBT给出的RL截面构件的计算式与文献［14］给出的RA型截面计算式一样，其中包括一个求解10×10阶广义特征值的过程，通常需借助软件（如 Matlab）完成，因此也属于准解析的计算式。

图1 3种典型截面示意图

1 RL截面基于GBT的计算公式

GBT最早是由Schardt提出的，用于分析冷弯薄壁构件的稳定［16］，它将构件的屈曲模态分解为一系列横截面变形模态（包括整体、畸变和局部屈曲）的线性组合。当一些模态的作用不显著时，GBT可以选择性地对作用显著的模态进行研究。

对于每一个模态，都有以下平衡方程［3，5］

式中：x为构件纵向坐标；函数φj（x）为模态j对应的沿构件纵向的振幅函数；E、G为弹性模量和剪切模量；Cij、Dij、Bij分别为与屈曲时的模态i、j相关的截面翘曲常数、扭转常数、横向弯曲刚度，Xkij为与屈曲前模态k、屈曲时模态i、j相关的几何刚度，Wk为截面应力合力，分别按式（2）计算。

式中：t、K 为板件的厚度和弯曲刚度（K＝Et3／［12（1－v2）］）；s为沿截面板厚中线的曲线坐标；c为沿曲线坐标的截面周长。u、v、w为沿x、s、z坐标的位移，如图2所示。

图2 构件坐标示意图

对于RL型截面构件，在轴向压力、绕截面弱轴或强轴的弯矩作用下发生畸变屈曲时，图3所示模态（对称S、反对称D）是截面畸变过程中的主要模态，即包括翼缘、卷边、后翼缘及后卷边4块板件的畸变。采用伽辽金法求解相应的平衡微分方程，求解时不同边界条件下构件位移函数的选取可参考文献［14］。限于篇幅，笔者直接给出构件畸变屈曲荷载计算式的表达式。

图3 RL型截面畸变的主要模态

1）对于轴心受压柱，相关的屈曲模态主要为S。对于两端简支和固支的构件，屈曲荷载的表达式均可写为

式中：μB、μC为与构件变形相关的参数，取决于描述振幅函数的选取，与构件的边界条件和屈曲半波数n有关，而CS、DS、BS（为了与文献［12-15］中的命名统一，分别为CSS、DSS、BSS的简写）分别为对应模态S的翘曲常数、扭转常数和横向弯曲刚度。

当构件两端简支时，对式（3）关于构件长度L求导，即d P／d L＝0，可得构件的屈曲半波长和屈曲荷载的最小值为

式中XS为X1SS的简写，为轴向荷载下与模态S相关的几何刚度。

2）对于受弯构件，当构件绕弱轴弯曲时，相关的主要屈曲模态也为S，屈曲荷载和半波长计算与轴心受压柱相同，仅几何刚度XIIS的计算略有差异（见本文第2.2节，XIIS为绕截面弱轴（Ⅱ轴）弯曲时与模态S相关的几何刚度）。当构件绕强轴弯屈曲时，相关的主要屈曲模态为S＋D组合，对于简支和固支的构件，其屈曲荷载的表达式也均可写为

当构件两端简支时，由于对式（5）求导较为麻烦，文献［14］提出下式计算畸变屈曲时半波长（误差很小，一般≤1%）：

此时的屈曲荷载可用式（6）的计算结果带入式（5）求得。对于两端固支的构件，由于构件发生畸变屈曲时，沿构件长度的半波数与构件长度等因素有关，可以根据伽辽金法假设的位移函数以及发生屈曲时的荷载来加以确定。

式（3）～（6）中的参数μB、μC可按下列取值：

1）对于两端简支的构件，采用正弦的振幅函数可以得到屈曲荷载的精确解［3］，参数μB、μC表达式为

2）对于两端固支的构件，其屈曲荷载随构件长度变化而变化，通过假定的位移函数，再利用式（3）或（5），可以得到屈曲荷载的近似解［15］，参数μB、μC表达式为

2 RL截面的参数确定

计算构件的畸变屈曲荷载时，截面的翘曲常数CS、CD，扭转常数DS、DD以及弯曲刚度BS、BD的计算只与截面尺寸参数有关，而几何刚度XS、、还与屈曲前的荷载情况有关。采用软件Matlab推导这些参数的计算表达式，在此之前，需先求解一个广义特征值问题，以求得S、D模态下RL截面10个节点的广义翘曲位移。

2.1 节点位移

计算步骤如下：

1）初始形函数uk（s）。选取方法为依次在RL型截面各个节点上施加单位翘曲位移uk＝－1，在相邻节点间线性分布，且uk－1＝uk＋1＝0。图4为在节点5上施加单位翘曲位移的示意。

图4 初始形函数施加示意图

3）根据式（2）和假设的初始形函数积分计算矩阵［C］，结果见附录。根据式（9）计算矩阵［B］。此处矩阵［B］、［C］都是高度耦合的矩阵，并且只用于截面参数分析。

2.2 截面参数计算公式

利用上述节点位移计算表达式，由式（2）可得横截面力学参数CS、BS、DS和CD、BD、DD（γ＝1、－1，下标分别为S、D）为

表1 截面轴向位移U 1～U 5的取值

3 计算式验证

为了验证得到的计算式的正确性，把计算式得到的结果与有限条软件CUFSM的分析结果进行比较。CUFSM软件是用于两端简支的冷弯薄壁构件的计算程序［17－18］，通过把构件长度划分得足够精细，可以准确地分析具有各种形式截面（开口或闭口）构件的屈曲行为，所以把其计算结果作为精确解，与计算式的计算结果以及文献［2］和［3］给出算式的计算结果比较。由于CUFSM无法计算两端固支的构件，以下主要比较两端简支构件的计算结果。所有算例的截面如表2所示，截面厚度均为1.0 mm。

表2 RL型截面尺寸 mm

对于给定截面，先利用Matlab或者Maple软件求解一个广义特征值问题，依据附录计算矩阵［B］、［C］，由式（10）求解得到相对于模态S和D的特征值以及相应的特征向量，特征向量即为S、D模态截面各节点的广义翘曲位移。轴压下构件发生畸变屈曲时主要模态为S，根据式（12）～（16）可计算得S模态下的向量｛u｝、｛m｝、｛v｝、｛φ｝、｛w｝，进一步可计算得到截面参数CS、BS、DS以及XS。最后，根据边界条件求取构件的畸变屈曲荷载：当两端简支时，按式（4）计算构件的屈曲临界荷载和屈曲半波长；当两端固支时，需利用式（3），假设屈曲半波长为L／n替代式中的L，并分别取屈曲半波数n＝1，2，3…，计算得到的最小值即为构件的畸变屈曲荷载。绕截面强轴或弱轴弯曲时的计算大致与上述过程相同，此处不再赘述。

表3和表4分别给出了构件轴心受压、绕截面弱轴弯曲和绕截面强轴弯曲时畸变屈曲荷载的计算结果与比较。

表3 轴心受压时计算结果比较 N

从表3可知，与CUFSM提供的精确解相比，笔者算式、文献［2］算式以及文献［3］算式的精度都比较高，计算数据误差在5%以内，笔者算式误差在3%以内，计算精度更高。

而根据表4的对比可见，构件绕弱轴弯曲屈曲时，笔者算式与文献［3］简化公式的精度都较高，最大误差均在2%以内。但笔者算式同时可用于计算两卷边宽度bs与ba不等的情况，并具有较高的精度。对绕强轴弯曲屈曲的情况，笔者算式除个别截面的误差达8%外，计算精度仍然比较高。

表4 绕弱轴弯曲、绕强轴弯曲时计算结果比较N·m

使用基于GBT的算式和CUFSM软件计算屈曲半波长时会发现，构件在轴心受压和绕弱轴弯曲下屈曲半波长与绕强弯曲下的屈曲半波长相比略大。这与文献［3］、［19］等对于C型截面的研究结果是一致的。表5仅给出轴心受压时屈曲半波长的数值。

由表5可见，基于GBT的计算公式与文献［3］给出的简化公式的结果都非常精确，误差均在1%以内，而文献［2］公式给出的结果最大误差为9%，偏差相对较大。

表5 屈曲半波长计算结果比较

4 结论

根据广义梁理论的基本原理，推导了带后翼缘与后卷边的槽型（RL型）截面冷弯薄壁型钢构件在轴心受压、绕弱轴弯曲或强轴弯曲时发生弹性畸变屈曲的临界荷载计算式。算式包括了两端简支和固支2种边界条件。通过与有限条结果以及既有理论公式的计算结果比较分析，表明笔者推导提出的计算式具有较高的精度，且算式形式较为简单。

［1］Kesti J，Davies J M.Local and distortional buckling of thin-walled short columns［J］.Thin-Wall Structures，1999，34：115-134.

［2］Lau S C W，Hancock G J.Distortional buckling formulae for channel columns［J］.Journal of Structural Engineering，ASCE，1987，113（5）：1063-1078.

［3］姚谏，滕锦光.冷弯薄壁卷边槽钢的弹性畸变屈曲荷载简化计算公式［J］.浙江大学学报：工学版，2008，42（9）：1494-1501.

Yao J，Teng J G.Simple formulae for distortional buckling loads of cold-formed lipped channel sections［J］.Journal of Zhejiang University，2008，42（9）：1494-1501.

［4］Camotim D，Silvestre N，Goncalves R，et al.GBT-based structural analysis of thin-walled members：overview，recent progress and future developments［J］.Advances in Engineering Structures Mechanics ＆Construction，2006：187-204.

［5］程婕，姚谏.弯曲应力作用下的腹板转动约束刚度研究［J］.工程力学，2010，27（11）：94-98，105.

Cheng J，Yao J.Study on web rotational restraint subjected to flexural stress ［J］.Engineering Mechanics，2010，27（11）：94-98，105.

［6］姚谏，程婕，邢丽.冷弯薄壁卷边槽钢梁的弹性畸变屈曲荷载简化计算公式［J］.工程力学，2011，28（10）：21-26.

Yao J，Cheng J，Xing L.Simple formulae for distortional buckling loads of cold-formed lipped channels subjected to major axis bending［J］.Engineering Mechanics，2011，28（10）：21-26.

［7］姚谏，程婕，卢哲刚.冷弯薄壁卷边形钢梁的弹性畸变屈曲荷载［J］.工程力学，2013，30（1）：81-86.

Yao J，Cheng J，Lu Z G.Distortional buckling loads of cold-formed lipped zed-beams［J］.Engineering Mechanics，2013，30（1）：81-86.

［8］罗洪光.冷弯薄壁斜卷边槽钢弹性畸变屈曲计算研究［D］.武汉：武汉大学，2011.

［9］Natario P，Silvestre N，Camotim D.Localized web buckling analysis of beams subjected to concentrated loads using GBT［J］.Thin-Wall Structures，2012，61：27-41.

［10］Silvestre N，Camotim D，Dinis P B.Post-buckling behavior and direct strength design of lipped channel columns experiencing local／distortional interaction ［J］.Journal of Constructional Steel Research，2012，73：12-30.

［11］Andreassen M J，Jonsson J.Distortional buckling modes of semi-discretized thin-walled columns ［J］.Thin-Walled Structures，2012，51：53-63.

［12］Silvestre N，Camotim D.Distortional buckling formulae for cold-formed steel C and Z-section members Part I-derivation ［J］.Thin-Walled Structures，2004，42：1567-1597.

［13］Silvestre N，Camotim D.Distortional buckling formulae for cold-formed steel C-and Z-section members Part IIValidation and application［J］.Thin-Wall Structures，2004，42：1599-1629.

［14］Silvestre N，Nagahama K，Camotim D，et al.GBT-based distortional buckling formulae for thin-walled rack-section columns and beams［J］.Advances in Steel Structures，2002，1：341-350.

［15］Silvestre N，Camotim D.Distortional buckling formulae for cold-formed steel rack-section members［J］.Steel and Composite Structures，2004，4（1）：49-75.

［16］Schardt R.Verallgemeinerte technische biegetheorie［M］.Berlin：Springer Verlag，1989.

［17］Adany S，Schafer B W.Buckling mode decomposition of single-branched open cross-section members via finite strip method：Derivation［J］.Thin-Walled Structures，2006，44：563-584.

［18］Adany S，Schafer B W.Buckling mode decomposition of single-branched open cross-section members via finite strip method：Application and examples ［J］.Thin-Walled Structures，2006，44：585-600.

［19］程捷.冷弯薄壁卷边截面受弯构件的畸变屈曲［D］.杭州：浙江大学，2010.

附录A

［F］、［C］为对称矩阵，［w··］为非对称矩阵，其中各元素表达式为

（编辑 胡英奎）

Distortional Buckling Formulae of Cold-Formed Thin-Walled Rack Members Upright with Rear Flange and Additional Lip Stiffeners

Yao Jian1，2，Lu Zhegang2，3

（1.College of Urban Construction，Zhejiang Shuren University，Hangzhou 310015，P.R.China；2.Institute of Structural Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310058，P.R.China；3.Zhejiang Greentown Architectural Design Co，Ltd，Hangzhou 310007，P.R.China）

According to the generalised beam theory based on the exist studies，the aim of this paper is to derive the distortional buckling formulae of pined or fixed cold-formed thin-walled rack members upright with rear flanges and additional lip stiffeners.The formulae is adopted to calculate the distortional buckling load and the buckling half-wave length of the member subjected to axial compression or minor and major axis bending.Meanwhile，the results are compared to those of finite strip program CUFSM and other analytical formulae.The derived formulae is proved to be accurate enough.As a result，it may be directly used in practical design as well as further study.

cold-formed thin-walled section；rack section upright with rear flange and additional lip stiffener；generalised beam theory；loads

TU318

A

1674-4764（2014）02-0006-08

10.11835／j.issn.1674-4764.2014.02.002

2013-02-21

浙江省科技计划项目（2011C31006）；教育部博士学科点专项科研基金（J20120118）

姚 谏（1958-），男，教授，博士生导师，主要从事钢结构稳定、FRP研究，（E-mail）yaojian58＠hzcnc.com。