《信息安全数学基础》教学方法探索与体会

闫玺玺　刘琨

摘 要： 依据信息安全数学基础课程的特点与现状，对该课程的教学内容进行分类，从基础知识的讲授、理论与应用的结合、实践环节的设计及学生创新意识的培养四个方面对教学方法进行探讨，对信息安全学科发展、课程建设及人才培养等方面具有一定的借鉴作用。

关键词： 《信息安全数学基础》 教学设计 教学方法

1.引言

信息安全学科是一门新兴的交叉学科，涉及通信学、计算机科学、信息学、法律和数学等多个学科，主要研究确保信息安全的科学与技术，培养能够从事计算机、通信、电子商务、电子政务、电子金融等领域的信息安全高级专门人才[1-3]。信息安全的理论基础是密码学，信息安全的问题根本解决往往依靠密码学理论。密码学是一门数学背景极强的综合性学科，数学理论在当前的密码学研究中发挥重要作用，包括数论、群论、组合逻辑、复杂度理论、遍及理论及信息论等。因此，信息安全数学基础在信息安全中占据举足轻重的地位，是整个学科专业的理论基础。对于信息安全专业的学生而言，信息安全数学基础对今后密码学的深入学习具有基础性的作用。

图1 信息安全数学基础与密码学的关系

2.课程的特点与现状

信息安全数学基础作为一门数学课，其自身的理论性是毋庸置疑的，但是它又有区别于传统数学课程的地方。笔者在讲授该门课程的过程中对其特点与现状总结如下：

（1）信息安全数学基础课程课时紧，内容多、难度大，涉及数论、代数和椭圆曲线论等数学理论。由于有关数论、代数和椭圆曲线论等方面的课程多半是针对数学专业的学生，对于非数学专业的学生而言，对相关基础知识的掌握有所欠缺，很多内容都是新知识，学习难度相对有点大，理解起来比较困难。因此，该门课程很容易导致学生产生畏惧情绪，在学习过程中疏于研究和探索，理论基础掌握不够扎实。

（2）信息安全数学基础课程主要是为密码学技术提供理论基础，其本身就是为了利用基础理论解决实际应用中信息安全领域的问题。如果在课堂中只强调理论知识的讲授（如定理的证明，公式的推导等），将导致学生忽略与信息安全工程实践的应用，不清楚学习这些数学理论能干什么、在什么地方用、怎么用、这种方法的优点是什么等问题，很难为以后学习密码学技术打好基础。

（3）信息安全数学基础是具有变化性、发展性的一门课程，书本上的知识往往滞后于信息安全技术的实际应用[1-3]，许多新的理论已经不再适用，而新的理论却未能在课本上更新。因此，这就要求老师在讲授课本上的基础知识的同时，关注最新信息安全技术的发展，使学生明白信息安全技术没有绝对的安全性，需要不断地提出新的算法、新的技术，从而引导学生探索信息安全相关知识，培养其创新意识。

综上所述，结合该门课程的特点与现状，需要改变传统的数学授课方式，从而提高学生的学习兴趣，使得学生在牢固掌握该课程理论知识的同时，增强学生的创新意识，培养其解决实际信息安全问题的能力。因此，如何创造一种全新的教学方法，已成为信息安全数学基础课程教师需要深入探索的一个课题和挑战。

3.教学内容分析

信息安全数学基础是信息安全专业的基础课，对学生深入学习密码学相关知识，尤其是公钥密码算法和数字签名算法具有重要意义。因此，讲授该课程时，需要重点讲授基础知识，概括介绍前沿知识，同时注重理论与实践的相结合。

根据陈恭亮教授编写的《信息安全数学基础》[4]这本教材，该课程需要讲授欧几里得除法、模同余、欧拉定理、中国剩余定理、二次同余、原根、有限群、有限域、椭圆曲线等诸多内容。因此，围绕密码学所涉及的数论、近世代数和椭圆曲线论等数学理论，我们将该课程内容分为（见表）：

表 信息安全数学基础课程内容分类

4.教学方法的探索与体会

教师是课堂教学的策划者，要上好信息安全数学基础这门课，教师必须针对该课程的特点和内容，制订好教学方案，激发学生的兴趣，提高学生的积极性，为密码学技术的学习打好基础。现将自己对该课程的教学体会总结如下：

（1）以基础知识为核心，简化数学理论知识，提高学生的积极性。信息安全数学基础课程内容多、分散且抽象，对于工科学生来说，理解起来相对比较困难。初等数学相对比较简单，可以讲得快一些，通过例子向同学们介绍其应用。如讲授模运算中模逆元的概念时，我们可以将其与学生曾经学习过的“倒数”进行对比，通过对比帮助学生理解模逆元的概念，如倒数3*1/3=1，而模逆元3*5 mod 7=1。近世代数中群、环、域的概念比较抽象，教师可以将较难的数学问题转化为一些容易的小问题，采用归纳法对三者之间的联系和区别进行概括（如图2），帮助学生加深理解。椭圆曲线论需要把椭圆曲线的物理意义及其应用讲清楚。

图2 群、环、域的关系

同时，为了调动学生的积极性和主动性，可以在课堂中引入数学史的讲解及一些数学家的故事，比如讲中国剩余定理时，可以讲讲韩信点兵的背景，激发学生学习的兴趣。

（2）以密码学应用为出发点，采用启发式教学的方式引导学生将理论与应用相结合。信息安全数学基础课程的目的是引导学生将信息安全数学理论应用到实际的密码学问题当中，所以，老师应该改变传统的“满堂灌”的教学模式，运用启发式的教学方式，介绍问题的来源、研究的方法等，使得学生清楚“学习这些数学理论能干什么、在什么地方用、怎么用”等问题。

围绕着密码学所涉及的技术和算法[5]，我们可以向学生讲述信息安全数学理论和密码学应用之间的联系，如讲授欧拉函数和欧拉定理时，可以介绍其在RSA公钥密码算法中的具体应用；讲授中国剩余定理时，可以通过引出问题：假设5个人中每个人都知道一个秘密的部分内容，想要恢复出秘密的全部信息，至少需要3个人联合起来（密码学中的门限方案），使得学生了解中国剩余定理的应用。信息安全数学理论与密码学的服务关系如图3所示，其中箭头表示服务与被服务的关系。

（a）数论部分与密码学的服务关系

（b）近世代数部分与密码学的服务关系

图3 信息安全数学基础与密码学的服务关系

（3）精心设计实践教学环节，发挥工科学生特长，提高学生解决问题的能力。信息安全数学基础是针对工科学生开设的一门数学基础课，仅讲授课本上的知识很难使学生对课本吃透，因此，需要发挥工科学生的特长，精心设计实践教学环节。信息安全数学基础中有很多相对复杂且抽象的算法，单靠课堂上的理论讲解是很难让学生掌握的，因此，可以适当地安排一些编程作业。如讲授欧几里得算法时，可以要求学生利用编程知识实现该算法，既锻炼学生的编程能力，又加深学生对欧几里得算法的深刻理解。另外，结合信息安全实际应用中出现的一些问题，让学生自己思考会用到哪些学到的数学知识，通过小组讨论和汇总，使学生在充分理解理论知识的基础上，通过独立思考，灵活解决实际问题。

（4）采取引导式教学，培养学生的创新能力，探索前沿性知识。近些年来，随着信息网络技术的日益普及和商业需求的提高，密码学的研究和应用愈来愈热。教科书上的知识已经很难满足信息安全技术的应用，以教科书为主的教学内容已经很难达到高等教育的任务和目标。这就需要老师不能仅仅传授课本上的基础知识，而需要采取引导式教学，将信息安全领域的最新技术作为例子引入到课堂，和学生进行开放式探讨，带学生进入学科前沿，激发学生的探索能力，使学生学会利用数学基础知识分析和解决实际问题。另外，在教学过程中要引导学生自主探索国内外信息安全领域的最新动向，使学生明白任何技术或算法不是一成不变的，需要不断地创新和发展以适应国家信息化进程的需要，培养学生发现问题的能力和创新意识。

5.结语

《信息安全数学基础》在信息安全中占据举足轻重的地位，是整个学科专业的理论基础。笔者分析了信息安全数学基础课程的特点与现状，针对该课程的教学内容，从基础知识的讲授、理论与应用的结合、实践环节的设计及学生创新意识的培养四个方面对教学方法进行探讨。通过教学实践表明，该教学方法取得良好的效果，学生对信息安全表现出浓厚兴趣，考试成绩基本符合正态分布，为现代密码学技术打好坚实的基础。由于信息安全数学基础仍是一门新兴的课程，很多问题仍需要进一步探讨，在今后的教学中还需要不断改进教学模式，提高教学质量，为培养满足社会需要的优秀人才而努力。

参考文献：

[1]郎荣玲，刘建伟，金天.信息安全数学基础理论教学方法研究[J].计算机教育，2012（17）：33-25.

[2]王敏超，周从化.信息安全数学课程设置与教学方法探讨[J].考试周刊，2011（15）：136-137.

[3]张兴兰.信息安全专业数学课程的教学研究[J].计算机教育，2011（13）：45-46.

[4]陈恭亮.信息安全数学基础[M].北京：清华大学出版社，2007.

[5]B.Schneier著，吴世忠等译.应用密码学[M].北京：机械工业出版社，2000.