实矩阵可开平方的条件与MATLAB实现

晏林

（文山学院 数学学院，云南 文山 663000）

实矩阵可开平方的条件与MATLAB实现

晏林

（文山学院 数学学院，云南 文山 663000）

文章引入了实矩阵在实数域上可开平方的概念，讨论了实矩阵在实数域上可开平方的条件，给出2阶实矩阵在实数域上可开平方的充分必要条件，通过MATLAB软件解决了几个相关问题。

实矩阵；开平方；特征根；正定；MATLAB软件

复数域上的n阶矩阵的开平方问题讨论较多，已获解决。实数域上的n阶矩阵可开平方的问题比较复杂，讨论较少，有的文献只给出了实数域上的n阶矩阵可开平方的充分条件，对此问题作进一步的讨论，是很有必要的。

1 引例与定义

高等代数二次型理论部分有如下一道习题：

引例[1]设A是一个n阶正定对称矩阵，证明，存在一个正定对称矩阵S，使得A=S2。

证明：因为A是一个正定对称矩阵，所以存在一个正交矩阵U，使得

由以上引例我们可引入如下定义。

定义设A是一个n阶实矩阵，如果存在一个n阶实矩阵B，使得A=B2，则称矩阵B是A的一个平方根矩阵，此时称矩阵A在实数域上可开平方，记作

2 主要结果

定理1设实数域上两个矩阵A与B相似，则A在实数域上可开平方的充分必要条件是在B在实数域上可开平方。

证明：因为实数域上两个矩阵A与B相似，所以存在实可逆矩阵P，使得P-1AP=B。所以当A在实数域上可开平方时，存在实矩阵C，使得A=C2，从而

这里D=P-1CP为实矩阵，于是B在实数域上可开平方。同理可证充分性。

定理2[2]若实对称矩阵A为半正定矩阵，则A在实数域上可开平方。

证明：因为实对称矩阵A为半正定矩阵，所以A相似于实对角矩阵

这里λi≥ 0, i=1, 2…, n，所以B=diag（λ1, λ2,…, λn）在实数域上可开平方，即A在实数域上可开平方。

仿定理2的证明可得以下定理：

定理3特征根非负且可对角化的实矩阵可开平方。

定理4[3]特征根有非负实部的实矩阵可开平方。

下面我们研究2阶矩阵可开平方的条件

令2阶实矩阵A的平方根矩阵是X，满足

综上所述可得:

定理52阶实矩阵A在实数域上可开平方的充分必要条件是以下条件之一成立：

1）A是一个数量矩阵；

3 Matlab实现

［1］ 张禾瑞．高等代数[M].北京：高等教育出版社，1989：383.

［2］ 王萼芳，石生明．高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003：231.

［3］ 邓薇． MATLAB函数[M].北京：人民邮电出版社，2012：73.

Conditions for the Square Root of Real Matrix and MATLAB Solution

YAN Lin
(School of Mathematics, Wenshan University, Wenshan 663000, China)

The paper introduces square root concept of the real matrix in real number field and discusses its conditions and works out the necessary and sufficient conditions for the square root of 2 order real matrix and solves some related problems with MATLAB software.

Real matrix; square root; characteristic root; positive definite; MATLAB software

O151.21

A

1674-9200（2014）06-0030-05

（责任编辑 刘常福）

2014-05-13

文山学院精品课程“高等代数”建设与数学建模教学团队建设项目。

晏 林（1959-），男，云南富源人，文山学院数学学院教授，主要从事代数学和数学实验方面的研究。