存在时延和拓扑不确定的多弹分散化协同制导时间一致性分析

王青，后德龙，李君，董朝阳

(1.北京航空航天大学 飞行器控制一体化技术重点实验室，北京100191;2.北京宇航系统工程研究所，北京100080;3.北京航空航天大学 航空科学与工程学院，北京100191)

0 引言

多枚导弹协同攻击能有效地提高打击目标的效能［1-3］。多导弹之间通过信息共享实现配合、协作，共同完成打击任务，极大地增强了导弹的打击能力，增加了导弹突防和摧毁目标的概率。

在研究导弹协同攻击问题时，多枚导弹同时到达是一个重点关注的问题，该问题可以归结为制导时间的一致性问题［4］。制导时间一致性问题主要研究导弹协同攻击系统中各导弹之间的信息交互方式，使所有导弹的制导时间趋于同一值。

文献［5］给出了一种攻击时间可控的制导律(ITCG)，该制导律由两部分组成，一部分用于对目标的攻击，另一部分用于对给定制导时间指令的跟踪。文献［6］提出了一种双层协同制导结构来解决导弹协同攻击问题，将ITCG 制导律作为底层导引律，上层为协调一致性算法，实现对制导时间指令的解算。协调一致性算法采用网络邻域通信实现相互之间的信息传递，因此可能存在网络拓扑切换问题，文献［4］基于强连通平衡有向图的相关性质研究了存在网络拓扑切换时的分布式协同制导问题。

除了拓扑切换问题外，网络传输过程不可避免地存在传输时延和时变拓扑结构不确定问题，从而对多弹协同攻击任务的完成产生严重影响。时变拓扑结构不确定可以理解为未考虑在切换拓扑内的通讯连接短暂中断或权值的改变等。而针对这两类问题，在多弹协同制导领域还没有得到研究。相关研究主要在多智能体的一致性［7-9］、无人机和卫星编队方面［10-12］。多智能体的一致性算法与多弹协同制导的一致性算法类似，但是针对其开展的相关研究主要针对强连通平衡图，具有较强的局限性。文献［7］利用图论和矩阵理论将一阶有向网络的一致性分析结果拓展到了高阶情况，并对切换拓扑下的一致性作了分析，但是没有考虑时延情况。文献［8］研究了存在网络时延和切换拓扑的多智能体系统一致性问题，但其针对的拓扑结构是强连通平衡图拓扑结构。文献［9］针对存在时延的强连通平衡图下的多智能体一致问题给出了相关稳定判据。文献［10 -11］针对编队卫星协同中存在拓扑结构切换、通信时延等问题进行了研究。文献［12］针对无向平衡图存在切换拓扑和时延的情况进行了分析。

本文针对存在网络通信时延、时变拓扑结构不确定和动态拓扑切换情况下的多导弹协同齐射攻击问题开展了研究。以线性矩阵不等式的形式给出了协同制导时间实现一致的条件。本文的研究不依赖于特定的网络通信拓扑结构，在此基础上开展存在时延、拓扑结构不确定、切换拓扑情况下的协同制导一致性研究，具有更广泛的适用性。

1 问题描述

针对打击固定目标问题，文献［5］给出了一种时间可控的制导律，即ITCG，为了配合协同制导的描述，考虑n 枚导弹参与攻击的情形，每枚导弹均采用ITCG 进行攻击。ITCG 中每枚导弹的法向加速度为

文献［6］以系统总体控制能量消耗最小作为设计目标得到剩余制导时间指令值为

式中:wi为加权系数，wi=

考虑到(2)式给出的制导时间指令值为加权平均形式，与存在通信连接权值的一致性算法收敛值［8］相同，文献［6］提出了一种双层协同制导结构。该制导系统的上层为(3)式给出的一致性算法，下层采用ITCG 实现对给定的制导时间指令的跟踪。制导时间一致性算法为

式中:i=1，…，n;xi表示第i 个导弹的剩余飞行时间指令值，即xi=;aij是拓扑结构的邻接矩阵A中的元素，在图论相关的定义中给出详细描述。

本文采用该双层协同制导结构实现多导弹同时攻击。从对该双层制导结构的分析可以看出，一致性算法对于协同制导的实现至关重要。在一致性算法收敛的情况下，ITCG 总能实现对制导时间指令的跟踪，从而实现协同制导。本文将研究存在网络通信时延、时变拓扑结构不确定和动态拓扑切换情况下一致性算法收敛性问题，给出该问题的分析方法。

下面首先给出图论的相关定义:

定义有向图G =(V，E，A)，其中:有限非空集V={v1，v2，…，vn}是图G 的节点集，节点的下标集记为I ={1，2，…，n}，节点可以用vi∈V 或其下标i∈I来表示;E⊆V×V 是图G 的边集，边记为eij=(vi，vj);A=［aij］∈Rn×n是图G 的邻接矩阵，当节点j 存在信息流向节点i 时，aij=1，否则为0，定义aii=0.

定义Laplace 矩阵L =［lij］∈Rn×n(i，j ∈I)为［13］

2 固定拓扑下的一致性分析

本节针对固定拓扑情况下协同制导一致性算法展开分析。

由图论的相关定义，(4)式可以转化为以下矩阵形式:

式中:x=［x1，x2，…，xn］;C =diag(1/w1，1/w2，…，1/wn)，为权值矩阵;L 为Laplace 矩阵。

存在时延和拓扑不确定情况下的一致性算法可以写成以下形式:

式中:ωi＞0，i=1，…，n.

将(5)式表示为

并作以下转换［14］:

取y=［y12，y13，…，y1n］T，则有

式中:1 为适维单位列向量;E ∈R(n-1)×n、F ∈Rn×(n-1)，且定义在不存在时延和拓扑不确定情况下，由(9)式可以推导如下:

式中:A= -ECLF.将系统命名为分歧系统。上述推导过程中使用了拓扑结构Laplace 矩阵的一个性质，即L·1 =0.在存在时延和时变拓扑不确定情况下的分歧系统动力学为

式中:ΔA 为时变拓扑引起的A 阵不确定。假定ΔA可以表示为ΔA=Λ1Φ(t)Λ2，其中Λ1和Λ2为适维常数矩阵，Φ(t)为未知时变矩阵且满足ΦT(t)Φ(t)≤I.

在进行分析之前给出以下相关引理:

引理1［14-15］对任何可微函数x(t)∈Rn和任何n×n 维的正定对称常值矩阵W，存在如下的不等式关系:

式中:t ＞0;τ 满足0≤τ≤h，h ＞0.

引理2［16］Schur 补引理。针对给定的矩阵M、P、Q，且Q 为正定矩阵，以下两个关系等价:

引理3［9］若给定合适维矩阵B =BT，J，K，则对所有满足DT(t)D(t)≤I 的矩阵D(t)，不等式B+JD(t)K+KTDT(t)JT＜0 等价于

式中:c0为任意正常数。

通过反证法可以推出一致性算法的收敛性和分歧系统的稳定性等价。针对固定拓扑网络结构，基于线性矩阵不等式方法以定理形式给出(7)式所示的多导弹协同制导时间一致性算法收敛的充分条件。

定理1 对于系统，固定网络拓扑为G，且权值系数阵C 非负，网络传输时延τ ＜h，如果存在正定对称矩阵P 满足Π ＜0，则系统渐近一致。Π=其中Q为任意对称正定阵。

证明 通过分析分歧系统的稳定性分析系统的渐近一致性。构造如下形式的Lyapunov-Krasovskii泛函［14］:

将系统作如下处理:

定义

则

对泛函V(t)求导可以得到

应用引理1 给出的不等式，则有

将(19)式表达为矩阵形式

根据Schur 补引理，若存在正定对称矩阵P 满足:

进一步，矩阵不等式可以整理为

式中:

应用引理3，(21)式等价为

(22)式可以表示为

应用Schur 补引理，(23)式可以转化为Π ＜0，定理1 得证。

事实上，在定理1 满足的情况下，总存在一个常数c 满足:(t)＜-cV，即Lyapunov-Krasovskii 泛函按指数速率衰减，从而分歧系统收敛，即一致性算法收敛，从而保证了多弹协同制导的实现。

3 切换拓扑下的一致性分析

本节考虑存在时延、时变拓扑结构不确定，且在有限个时间点存在网络拓扑切换情况下多导弹协同制导时间的一致性分析。在存在网络拓扑切换情况下，一致性算法的分歧系统可以表示为如下形式:

式中:k∈s(t):［0，∞］→{1，2，…，N}为网络拓扑结构的切换信号;Ak= -ECL(Gk)F，Gk∈Γn，Γn为包含n 个导弹的信号传输网络拓扑结构的有限集合;ΔAk=Λ1(Gk)Φk(t)Λ2(Gk)为拓扑结构不确定，Φk(t)为未知时变矩阵且满足(t)Φk(t)≤I.

针对同时存在网络时延、时变拓扑结构不确定和切换拓扑下多弹协同制导时间一致性分析可给出以下定理:

定理2 对于系统，权值系数阵C 非负，网络传输时延τ ＜h，在有限次任意切换信号s(·)下渐近一致的条件为对于切换序列中的任一传输拓扑结构Gk，存在对称正定矩阵P 满足以下矩阵不等式组:

式中:

Q 为任意对称正定阵。

证明 定义与定理1 证明中相同的Lyapunov-Krasovskii 泛函，重写为

由定理1 的证明可知，对于切换序列中的任意信号传输网络拓扑结构Gk，存在常数ck，使得

即对于切换序列s(·)，(28)式给出的公共Lyapunov 函数指数下降，因此可以证明系统的渐近稳定性。定理2 得证。

上述证明可以采用论述方式说明。假设系统在t1时刻和t2时刻发生两次切换，尽管系统的公共Lyapunov 函数的导数在切换时刻存在跳变，但是由于状态不会发生突变，公共Lyapunov 函数是连续的，在每个区间的指数下降保证了在整个过程中公共Lyapunov 函数的衰减，系统是稳定的，从而多弹协同制导一致算法渐近收敛。

4 仿真验证

本节将通过仿真验证对存在网络时延和拓扑结构不确定的多弹协同制导时间一致性问题理论分析结果的正确性。

4.1 固定拓扑情况

假设3 枚导弹协同攻击一个固定目标，目标静止位于(0，0).导弹的初始参数如表1所示。

表1 导弹的初始参数Tab.1 Missile initial parameters

3 枚导弹之间的网络传输信息的拓扑结构如图1所示。A 阵的不确定来源于L 阵的不确定，选取L 阵的不确定ΔL 满足ΔL =Λ'1Φ(t)Λ'2，则可以推论出Λ1= - ECΛ'1和Λ2= Λ'2F，令Λ'1=0.2I，

时延τ =h =0.2 s 时，存在正定对称阵P 满足线性矩阵不等式。而取h ＞0.2 s，即网络时延τ ＞0.2 s 时，不存在满足条件的P，则不能证明(6)式所示的多导弹分散化协同策略的渐近一致性。因此，在线性矩阵不等式给出的充分条件下，h =0.2 s 是能证明系统渐近一致性的最大时延。

图1 导弹之间通信传输拓扑结构Fig.1 Communication topology

设系统存在固定时延τ=0.2 s，分别计算t =5 s，10 s，15 s，20 s，25 s，30 s 的矩阵P，求解线性矩阵不等式，得到矩阵P 的解为

在下面的仿真中，协调时间是制导时间一致性算法的状态，即剩余制导时间指令值。分别进行理想情况和τ=0.2 s 且包含拓扑结构不确定两种情况的仿真，仿真结果分别如图2～图4所示。在图2中，虚线结果表示存在时延及拓扑结构不确定情况下的仿真结果，实线表示理想情况下的仿真结果。从图2可以看出，在网络传输时延为τ =0.2 s 且包含拓扑不确定时，导弹协同制导系统仍能实现同时攻击，即系统是渐近一致的，但是对系统的性能产生了影响，尤其是对协调时间产生较大的影响。

图2 不同情况下导弹飞行轨迹Fig.2 The flight trajectories under different conditions

图3 不同情况下剩余飞行时间估计值Fig.3 Estimate values of time-to-go under different conditions

图4 前10 s 内导弹制导协调时间Fig.4 The cooperative time-to-go in the first 10 s

4.2 切换拓扑情况

针对网络拓扑切换、时延及拓扑结构不确定同时存在的情况进行仿真验证。拓扑不确定的取法与4.1 节相同，仍取网络传输时延为τ =0.2 s，假设系统分别在2.5 s 和6 s 发生拓扑切换，图5(a)和图5(b)给出了两种拓扑结构，切换序列为s(·):(a)→(b)→(a)

图5 两种导弹通信传输拓扑结构Fig.5 Two communication topologies

针对上述两种网络拓扑结构，在网络传输时延τ=0.2 s 及存在不确定时存在公共Lyapunov 函数，仍以t=5 s，10 s，15 s，20 s，25 s，30 s 为例:

因此上述切换是稳定的。仿真结果如图6和图7所示，图6给出了制导时间一致性算法状态，图7以导弹M2协调时间曲线为例给出与仅存在时延及不确定不存在切换情况的对比。从仿真结果看，网络传输拓扑结构的切换对系统的性能产生了一定的影响，但是仍然能够实现一致，这与理论分析结果相同。

图6 切换情况下的协调时间曲线Fig.6 The curves of cooperative time-to-go under the condition of switching

图7 τ=0.2 s 条件下的制导时间一致性算法状态对比曲线Fig.7 The comparison curves of cooperative time-to-go for τ=0.2 s

5 结论

本文针对存在网络时延下多导弹协同制导时间一致性问题进行了研究，结论如下:

1)将多弹协同制导时间一致性问题转化为制导时间分歧系统的稳定性问题，利用稳定性的控制理论方法，拓展了对该问题的研究手段。

2)给出了存在通信时延及拓扑结构不确定时制导时间一致性算法收敛的线性矩阵不等式判据。

3)将针对固定拓扑情况提出的Lyapunov 函数方法拓展成公共Lyapunov 函数方法适用于分析网络传输时延、拓扑不确定和拓扑结构切换同时存在下的多弹协同制导时间一致性分析。

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