中考几何精析

徐晓东

《数学课程标准》指出：第三学段（7—9年级）的“空间与图形”包括四个方面的内容：图形的认识，图形与变换，图形与坐标，图形与证明。它们都是围绕图形和空间的问题展开，既有内在的联系，又有各自的特点和侧重。第一，要准确把握“图形的认识”各部分内容的要求，探索图形的基本性质及其相互关系，进一步丰富对空间图形的认识和感受；第二，要恰当把握“图形与变换”的具体目标和要求，学习平移、旋转、轴对称的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用；第三，要准确定位“图形与坐标”的具体要求，学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念；第四，要正确理解“图形与证明”的具体目标，在探索图形性质、与他人合作交流等活动中，发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表达，体会和理解证明的必要性，把握好“证明”的范围和要求，掌握用综合法证明的格式。

众所周知，“空间与图形”包含四个方面：图形的认识，图形与变换，图形与坐标，图形与证明。但从课改卷中可以意识到重点在“图形的认识”和“图形与变换”以及“图形与坐标”。而“图形与证明”在《课标》中的要求有较大的调整，主要包括加强合情推理，降低演绎推理的难度和数量，强调“理解证明的必要性”，以及“言之有理、落笔有据”，掌握综合法证明的格式，初步感受公理化思想。因而，“图形与证明”不作专题分析。特此说明！

一、图形的认识

考点1：角、相交线与平行线

精析考点：本考点涉及的对象是“空间与图形”中最简单的平面图形——点、线、面和角以及平行、垂直关系，主要包括线段、射线、直线和角（补角、余角、对顶角）的有关概念及其表示法、垂线的有关性质、平行线的性质和判定等。本部分内容对整个空间与图形起到奠基作用。

把握方向：本考点的概念和有关性质较多，其中，线与角是初中平面几何的基础知识，是课标规定的“双基”；相交线与平行线是历年中考常见的考点，通常以填空题或选择题的形式考查。利用“垂线段最短”解决实际问题是重点，特别是近两年课改卷中出现了探索型的题目，务必引起关注。

精典例题：光线以如图1-1所示的角度α照射以平面镜Ⅰ上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α=600，∠β=500，则∠γ= 。

考点2：三角形

精析考点：本考点的内容是“空间与图形”中直线型部分最重要的内容之一，主要内容有运用三角形三边关系、全等三角形的性质与判定、三角形内角和定理、等腰三角形（含等边三角形）、直角三角形的性质与判定、勾股定理及逆定理等进行简单的计算或证明。纵观近几年全国课改实验区的中考试题，探索性的试题和从丰富的现实生活情境中抽象出三角形、全等形来解决实际问题的题型增多。

把握方向：三角形是本考点考查的重要内容之一，除注重考查相关的基础知识外，也有综合性较强的大题出现。值得关注的是，在近几年课改卷中，三角形的运动、折叠、平移、旋转（如两块直角三角板的平移、旋转）、拼接形成新的数学问题等操作性、探索性题型比例将逐渐增多。

精典例题：

1.如图2-1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图2-2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=600，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图2-3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

2.如图3-1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起，现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转。

（1）如图3-2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM、FN的长度，猜想BM、FN满足的数量关系，并证明你的猜想。

（2）若三角尺GEF旋转到如图3-3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

考点3：四边形

精析考点：四边形这一考点在新课标中内容变化不大，除等腰梯形要求略有降低外，其他内容要求没有多大改变，从整体上来看比以前更为重要。在2006年的全国各地课改实验区的中考试题中，涉及四边形的考查以证明、计算、小综合题稍偏多。重点考查平行四边形的性质和判定；矩形、菱形、正方形的性质和判定；梯形、等腰梯形、直角梯形的概念；直角梯形的性质和判定以及三角形的中位线定理。

把握方向：在新课标中由于圆部分知识点的难度逐渐削减，四边形的重要性日益凸现出来。中考中对平行四边形的考查大多结合三角形知识进行考查；利用特殊四边形的面积公式解决一类与面积有关的几何问题（应用问题）；考查由过去单一的证明演变为证明与计算的综合运用，也有不少地方出现了特殊四边形的折叠与旋转性的问题，以及与函数问题结合的压轴问题。题型有填空题、选择题，更多以计算、证明或小综合的解答题以及探索性、几何动态形式出现。其中平行四边形、等腰梯形、矩形、菱形的性质考查居多，特别关注图形的平移、折叠、旋转等类型的试题。

精典例题：如图4-①，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE；②AF⊥DE。（不需要证明）

（1）如图4-②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）endprint

（2）如图4-③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CP的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）如图4-④，在（2）的基础上，连接AE和EF，A若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种？并写出证明过程。

考点4：圆

精析考点：“圆”这一章新课标中改动较大：缩减了课时，淡化了证明，删除了相交弦定理、弦切角定理、圆幂定理及正多边形有关概念和结论，圆和圆的位置关系仅剩基本概念；重点考查对圆的基本概念、基本性质的理解及运用，特别是垂径定理及推论、圆周角定理及推论的运用，更注重图形的变换、探索与应用，强化了弧长和扇形面积的计算（包括圆柱、圆锥侧面积和全面积的计算）；从2007年全国各地中考课改卷中“圆”的要求有所降低。因此，在“圆”这一章的复习中，要按新课标的要求进行有针对性的复习.

把握方向：综合运用有关知识，重计算、重应用的题目出现较多，而证明题逐渐变少，如需证明也常常放在第（1）问，难度较低；而对圆的综合考查偏重于计算型与探索型的开放题。圆与三角形、四边形、函数、方程、不等式相结合，且各种形式相互转化的问题已成为新题型的主要考查方向，其中直线与圆的位置关系的开放题、探索题等题型值得关注。

圆与圆的五种位置关系有关证明要求不高，涉及圆与圆的题目难度逐步降低。弧长和扇形面积的计算问题较多而难度不大，主要偏重生活中的应用。

精典例题：1.如图5，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=450，则AB的长为 。

2.如图6，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、点E。过点D作DF⊥AC，垂足为点F。

（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论。

（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H。若等边△ABC的边长为4，求FH的长（结果保留根号）。

考点5：视图与投影

精析考点：视图与投影是新课标增加的内容，与其他内容相比，课标确定的目标难度不大却与生活紧密联系，因此受到全体学生的欢迎，此类题目若稍作深挖则会偏难。本考点的重点是能识别和会画简单几何体的三视图，并能应用中心投影与平行投影的概念解决有关实际问题。

把握方向：这一部分内容充满了趣味性，是近几年全国各地中考命题的热点，已经有中档题目出现，而且在试题中的分量逐年上升，但难度估计会控制在中等以下。

精典例题：1.如图7-①是一个正方形毛坯，将其沿一组对面的对角线切去一半，得到一个工件如图12-②，对于这个工件，左视图、俯视图正确的一组是（ ）

A.a、b B.b、c C.a、c D.a、d

2.如图8是一个长8m、宽和高5m的仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎，B（宽的三等分点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 m。

二、图形与变换

考点6：图形的轴对称

精析考点：对称是数学中的重要概念，生活中的对称现象无处不在。新课标关注基本图形的对称性及其相关性质，要正确理解轴对称与轴对称图形的联系和区别，掌握轴对称图形的性质，能根据要求正确地做出轴对称图形，并能利用轴对称性质进行简单的图案设计；要注重生活中的轴对称图形的研究，强调数学在生活中的实际运用。

把握方向：对称的重要性，决定了该内容的重要地位。近几年来，各地中考命题更加注重对称与实际生活的联系，考查的分值也逐年增加；主要以选择题、填空题和动手操作题等题型出现，内容以图形欣赏、设计（画图）与探索、剪贴、折叠及利用对称的有关性质进行简单计算与证明为主。

精典例题：将一张纸片沿任一方向翻折，得到折痕AB（如图9-1）；再翻折一次，得到折痕OC（如图9-2）；翻折使OA与OC重合，得到折痕OD（如图9-3）；最后翻折使OB与OC重合，得到折痕OE（如图9-4）。展开恢复成图1形状，则∠DOE的大小是 度。

考点7：图形的平移与旋转

精析考点：图形的平移与旋转的这一部分内容是课标新增内容（如图形旋转），还有一部分（如坐标与图形平移）的内容，是原来人教版教科书没有的知识点.作为一个基本的知识点，多数以单独成题，具有一定的灵活性，受到目前中考命题者的青睐。

把握方向：作为一个新的知识点，试卷的难度不大。从现有的课改区中考数学试题中可以看到，涉及这个考点的内容多以选择、填空出现；要注重对网格或坐标内图形的变换试题的研究，熟练掌握其常用的解题方法，试题本身不难，但对于学生分析、观察图形能力还是有一定的要求；特别要关注图形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本解题方法，如动手操作法、折叠法、旋转法等。

精典例题：1.如图10，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=450，AB=10cm，CD=4cm。等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止。

（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由 形变化为 形。

（2）设当等腰直角三角形PMN移动x（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y（cm2），求y与x之间的函数表达式。

（3）x=4（s），求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积。

2.如图11-1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=900，AC=8，BC=6。沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图11-2所示），将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A、D1、D2、B始终在一条直线上），当点D1与点B重合时，停止平移。在平移的过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P。endprint

（1）当△AC1D1平移到如图11-3所示的位置时，猜想图中D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想。

（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1与△BC2D2重叠部分的面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围。

（3）对于（2）中结论是否存在这样的x，使得重叠部分面积等于原△ABC纸片面积的 ？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。

考点8：图形的相似

精析考点：图形的相似是一个传统考点，新教材中加强了位似、黄金分割等内容，降低了证明的要求，又把锐角三角函数的有关知识点结合在一起，形成了一些新的变化。该内容的概念、性质、结论较多，要求学生结合图形理解知识的来龙去脉，形成一定的体系，并能灵活运用图形的相似解决一些实际问题如利用相似测量旗杆或建筑物的高度）。

把握方向：本节的概念、性质、定理都是研究相似形的理论基础，在中考试卷中有一定的分量，是平面几何中极为重要的内容，是中考的重点考查内容之一，常以选择题、填空题的形式出现，重在基础。利用图形的相似解决一些实际问题，并进行一些简单的计算和证明。专门考查相似形和三角函数的解答题不是很多，但主要在综合题中以探究性、开放性的形式出现，题型新颖，应用广泛，常与圆、三角形、四边形、函数结合在一起进行考查，分值较大。

精典例题：1.在△ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有 条。

2.如图12，学习小组选一名身高CD为1.6m的同学直立于旗杆AB影子的顶端F处，其他人分为两部分，一部分同学测量出该同学的影长DE为1.2m，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长BF为9m，那么该旗杆AB的高度是 m。

三、图形与坐标

考点9：图形与坐标

精析考点：图形与坐标是新教材加强的地方，淡化了坐标的代数性质，强调了坐标与图形的联系，形式多样，一般不难。

把握方向：“图形与坐标”的内容中，强调运用坐标系确定物体位置，感受图形变换后点坐标的变化。作为中考内容，以选择题、填空题、作图题等题型出现较多，且与平移、旋转、对称等相结合，重点考查平面直角坐标系内点的坐标特征，难度不大，最高只达到小综合。

精典例题：如图13，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0）， （2，3），则顶点C的坐标是（ ）。

A.（3，7） B.（5，3） C.（7，3） D.（8，2）

四、综合应用

考点10：空间与图形综合

精析考点：新教材中的“几何”被改称“空间与图形”，“几何”拓展为“空间与图形”是数学课程改革的一种国际趋势。“空间与图形”与过去初中几何相比更加强调了变换，同时把坐标从代数移入到这里。

把握方向：新教材以“图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明”等四条线索展开，增加了图形变换、位置的确定、视图与投影等内容。

新教材注重对证明的理解，不追求证明的数量和技巧。减少了定理的数量，削弱了定理的证明，淡化了证明的技巧，降低了证明的难度，删去了大量繁难的几何证明题。

这种新的观念必将深刻地影响“空间与图形”的命题，改变传统的命题方式和内容，应重点关注“观察归纳型、实验操作型、开放探究型、阅读理解型、方案设计与决策型”的题型。注重平移、旋转、折叠（轴对称）等题型的变换问题。

精典例题：已知，将一幅三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图14-1摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转α即∠BCE=α0（00<α<900），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。

（1）当α=300时（如图14-2），求证：AG=DH。

（2）当α=600时（如图14-3），（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由。

（3）当00<α<900时，（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图14-4说明理由。

五、变式训练，轻松备考

众所周知，近几年，随着新课程改革的不断深入，逐步推广和实施《新课程标准》，在全国各地的中考试卷中，都将出现大量具有锐意进取、推陈创新、充满时代气息的好试题。其构造新颖、构思精细、设计巧妙、令人敬佩。难道这么多的好试题是命题者凭空想象出来的吗？显然不是。那么他们是如何经过巧妙的构思而设计出新颖的好试题呢？其实，命题者就是通过变化习题中图形的形状、大小、位置关系而设计出一些具有特色的新试题。

变式训练一般有以下五种方法：变换原命题的题设与结论。②变换图形、探究数量间的关系。③变换图形、探究规律问题。④变换图形、探究变量间的函数关系。⑤将习题变式、整合、改造与创新。

精典例题：如图15（甲）是边长分别为6 cm和3cm的两个等边三角形纸片ABC和DEF叠放在一起C（C与D重合）。

（1）操作：固定△ABC，将△DEF绕点C顺时针旋转300得到△DEF连接AF/、BE/，CE/的延长线交AB与C。（图15乙）

探究：在图15（乙）中，线段BE/与AF/之间有何等量关系？并证明你的猜想。

（2）操作：将图15（乙）中的△DE/F/，在线段CG上沿着CG方向以每秒1cm的速度平移，平移后的三角形设△PQR。（图15丙）

探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，

求y与x之间的函数解析式；并写出函数自变量x的取值范围。

（3）操作：图15（甲）中△DEF固定，先将△ABC向左平移2cm，然后将△ABC绕C点按顺时针方向旋转α即（ ），其中边BC交EF于点M，边AC交DF于点。（图15丁）

探究：在图15（丁）中，线段DN·EM的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出DN·EM的值；如果有变化，请说明理由。

中考新试题的出现，并不是无源之水，无本之木。其根源就在课内，源于教材而变于教材。只要我们认真学习教材，探究教材，钻研教材的深度和广度，归类收集和整理全国各地课改实验区的中考试题，强化习题的多种变式训练，了解习题变式之间的内在联系，掌握例题、习题、试题的变化方法，探究它们的变化规律，就能跳出题海，举一反三，取得事半功倍的显著效果。

（作者单位：江苏溧阳市实验初级中学）endprint

（1）当△AC1D1平移到如图11-3所示的位置时，猜想图中D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想。

（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1与△BC2D2重叠部分的面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围。

（3）对于（2）中结论是否存在这样的x，使得重叠部分面积等于原△ABC纸片面积的 ？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。

考点8：图形的相似

精析考点：图形的相似是一个传统考点，新教材中加强了位似、黄金分割等内容，降低了证明的要求，又把锐角三角函数的有关知识点结合在一起，形成了一些新的变化。该内容的概念、性质、结论较多，要求学生结合图形理解知识的来龙去脉，形成一定的体系，并能灵活运用图形的相似解决一些实际问题如利用相似测量旗杆或建筑物的高度）。

把握方向：本节的概念、性质、定理都是研究相似形的理论基础，在中考试卷中有一定的分量，是平面几何中极为重要的内容，是中考的重点考查内容之一，常以选择题、填空题的形式出现，重在基础。利用图形的相似解决一些实际问题，并进行一些简单的计算和证明。专门考查相似形和三角函数的解答题不是很多，但主要在综合题中以探究性、开放性的形式出现，题型新颖，应用广泛，常与圆、三角形、四边形、函数结合在一起进行考查，分值较大。

精典例题：1.在△ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有 条。

2.如图12，学习小组选一名身高CD为1.6m的同学直立于旗杆AB影子的顶端F处，其他人分为两部分，一部分同学测量出该同学的影长DE为1.2m，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长BF为9m，那么该旗杆AB的高度是 m。

三、图形与坐标

考点9：图形与坐标

精析考点：图形与坐标是新教材加强的地方，淡化了坐标的代数性质，强调了坐标与图形的联系，形式多样，一般不难。

把握方向：“图形与坐标”的内容中，强调运用坐标系确定物体位置，感受图形变换后点坐标的变化。作为中考内容，以选择题、填空题、作图题等题型出现较多，且与平移、旋转、对称等相结合，重点考查平面直角坐标系内点的坐标特征，难度不大，最高只达到小综合。

精典例题：如图13，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0）， （2，3），则顶点C的坐标是（ ）。

A.（3，7） B.（5，3） C.（7，3） D.（8，2）

四、综合应用

考点10：空间与图形综合

精析考点：新教材中的“几何”被改称“空间与图形”，“几何”拓展为“空间与图形”是数学课程改革的一种国际趋势。“空间与图形”与过去初中几何相比更加强调了变换，同时把坐标从代数移入到这里。

把握方向：新教材以“图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明”等四条线索展开，增加了图形变换、位置的确定、视图与投影等内容。

新教材注重对证明的理解，不追求证明的数量和技巧。减少了定理的数量，削弱了定理的证明，淡化了证明的技巧，降低了证明的难度，删去了大量繁难的几何证明题。

这种新的观念必将深刻地影响“空间与图形”的命题，改变传统的命题方式和内容，应重点关注“观察归纳型、实验操作型、开放探究型、阅读理解型、方案设计与决策型”的题型。注重平移、旋转、折叠（轴对称）等题型的变换问题。

精典例题：已知，将一幅三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图14-1摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转α即∠BCE=α0（00<α<900），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。

（1）当α=300时（如图14-2），求证：AG=DH。

（2）当α=600时（如图14-3），（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由。

（3）当00<α<900时，（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图14-4说明理由。

五、变式训练，轻松备考

众所周知，近几年，随着新课程改革的不断深入，逐步推广和实施《新课程标准》，在全国各地的中考试卷中，都将出现大量具有锐意进取、推陈创新、充满时代气息的好试题。其构造新颖、构思精细、设计巧妙、令人敬佩。难道这么多的好试题是命题者凭空想象出来的吗？显然不是。那么他们是如何经过巧妙的构思而设计出新颖的好试题呢？其实，命题者就是通过变化习题中图形的形状、大小、位置关系而设计出一些具有特色的新试题。

变式训练一般有以下五种方法：变换原命题的题设与结论。②变换图形、探究数量间的关系。③变换图形、探究规律问题。④变换图形、探究变量间的函数关系。⑤将习题变式、整合、改造与创新。

精典例题：如图15（甲）是边长分别为6 cm和3cm的两个等边三角形纸片ABC和DEF叠放在一起C（C与D重合）。

（1）操作：固定△ABC，将△DEF绕点C顺时针旋转300得到△DEF连接AF/、BE/，CE/的延长线交AB与C。（图15乙）

探究：在图15（乙）中，线段BE/与AF/之间有何等量关系？并证明你的猜想。

（2）操作：将图15（乙）中的△DE/F/，在线段CG上沿着CG方向以每秒1cm的速度平移，平移后的三角形设△PQR。（图15丙）

探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，

求y与x之间的函数解析式；并写出函数自变量x的取值范围。

（3）操作：图15（甲）中△DEF固定，先将△ABC向左平移2cm，然后将△ABC绕C点按顺时针方向旋转α即（ ），其中边BC交EF于点M，边AC交DF于点。（图15丁）

探究：在图15（丁）中，线段DN·EM的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出DN·EM的值；如果有变化，请说明理由。

中考新试题的出现，并不是无源之水，无本之木。其根源就在课内，源于教材而变于教材。只要我们认真学习教材，探究教材，钻研教材的深度和广度，归类收集和整理全国各地课改实验区的中考试题，强化习题的多种变式训练，了解习题变式之间的内在联系，掌握例题、习题、试题的变化方法，探究它们的变化规律，就能跳出题海，举一反三，取得事半功倍的显著效果。

（作者单位：江苏溧阳市实验初级中学）endprint

（1）当△AC1D1平移到如图11-3所示的位置时，猜想图中D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想。

（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1与△BC2D2重叠部分的面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围。

（3）对于（2）中结论是否存在这样的x，使得重叠部分面积等于原△ABC纸片面积的 ？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。

考点8：图形的相似

精析考点：图形的相似是一个传统考点，新教材中加强了位似、黄金分割等内容，降低了证明的要求，又把锐角三角函数的有关知识点结合在一起，形成了一些新的变化。该内容的概念、性质、结论较多，要求学生结合图形理解知识的来龙去脉，形成一定的体系，并能灵活运用图形的相似解决一些实际问题如利用相似测量旗杆或建筑物的高度）。

把握方向：本节的概念、性质、定理都是研究相似形的理论基础，在中考试卷中有一定的分量，是平面几何中极为重要的内容，是中考的重点考查内容之一，常以选择题、填空题的形式出现，重在基础。利用图形的相似解决一些实际问题，并进行一些简单的计算和证明。专门考查相似形和三角函数的解答题不是很多，但主要在综合题中以探究性、开放性的形式出现，题型新颖，应用广泛，常与圆、三角形、四边形、函数结合在一起进行考查，分值较大。

精典例题：1.在△ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有 条。

2.如图12，学习小组选一名身高CD为1.6m的同学直立于旗杆AB影子的顶端F处，其他人分为两部分，一部分同学测量出该同学的影长DE为1.2m，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长BF为9m，那么该旗杆AB的高度是 m。

三、图形与坐标

考点9：图形与坐标

精析考点：图形与坐标是新教材加强的地方，淡化了坐标的代数性质，强调了坐标与图形的联系，形式多样，一般不难。

把握方向：“图形与坐标”的内容中，强调运用坐标系确定物体位置，感受图形变换后点坐标的变化。作为中考内容，以选择题、填空题、作图题等题型出现较多，且与平移、旋转、对称等相结合，重点考查平面直角坐标系内点的坐标特征，难度不大，最高只达到小综合。

精典例题：如图13，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0）， （2，3），则顶点C的坐标是（ ）。

A.（3，7） B.（5，3） C.（7，3） D.（8，2）

四、综合应用

考点10：空间与图形综合

精析考点：新教材中的“几何”被改称“空间与图形”，“几何”拓展为“空间与图形”是数学课程改革的一种国际趋势。“空间与图形”与过去初中几何相比更加强调了变换，同时把坐标从代数移入到这里。

把握方向：新教材以“图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明”等四条线索展开，增加了图形变换、位置的确定、视图与投影等内容。

新教材注重对证明的理解，不追求证明的数量和技巧。减少了定理的数量，削弱了定理的证明，淡化了证明的技巧，降低了证明的难度，删去了大量繁难的几何证明题。

这种新的观念必将深刻地影响“空间与图形”的命题，改变传统的命题方式和内容，应重点关注“观察归纳型、实验操作型、开放探究型、阅读理解型、方案设计与决策型”的题型。注重平移、旋转、折叠（轴对称）等题型的变换问题。

精典例题：已知，将一幅三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图14-1摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转α即∠BCE=α0（00<α<900），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。

（1）当α=300时（如图14-2），求证：AG=DH。

（2）当α=600时（如图14-3），（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由。

（3）当00<α<900时，（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图14-4说明理由。

五、变式训练，轻松备考

众所周知，近几年，随着新课程改革的不断深入，逐步推广和实施《新课程标准》，在全国各地的中考试卷中，都将出现大量具有锐意进取、推陈创新、充满时代气息的好试题。其构造新颖、构思精细、设计巧妙、令人敬佩。难道这么多的好试题是命题者凭空想象出来的吗？显然不是。那么他们是如何经过巧妙的构思而设计出新颖的好试题呢？其实，命题者就是通过变化习题中图形的形状、大小、位置关系而设计出一些具有特色的新试题。

变式训练一般有以下五种方法：变换原命题的题设与结论。②变换图形、探究数量间的关系。③变换图形、探究规律问题。④变换图形、探究变量间的函数关系。⑤将习题变式、整合、改造与创新。

精典例题：如图15（甲）是边长分别为6 cm和3cm的两个等边三角形纸片ABC和DEF叠放在一起C（C与D重合）。

（1）操作：固定△ABC，将△DEF绕点C顺时针旋转300得到△DEF连接AF/、BE/，CE/的延长线交AB与C。（图15乙）

探究：在图15（乙）中，线段BE/与AF/之间有何等量关系？并证明你的猜想。

（2）操作：将图15（乙）中的△DE/F/，在线段CG上沿着CG方向以每秒1cm的速度平移，平移后的三角形设△PQR。（图15丙）

探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，

求y与x之间的函数解析式；并写出函数自变量x的取值范围。

（3）操作：图15（甲）中△DEF固定，先将△ABC向左平移2cm，然后将△ABC绕C点按顺时针方向旋转α即（ ），其中边BC交EF于点M，边AC交DF于点。（图15丁）

探究：在图15（丁）中，线段DN·EM的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出DN·EM的值；如果有变化，请说明理由。

中考新试题的出现，并不是无源之水，无本之木。其根源就在课内，源于教材而变于教材。只要我们认真学习教材，探究教材，钻研教材的深度和广度，归类收集和整理全国各地课改实验区的中考试题，强化习题的多种变式训练，了解习题变式之间的内在联系，掌握例题、习题、试题的变化方法，探究它们的变化规律，就能跳出题海，举一反三，取得事半功倍的显著效果。

（作者单位：江苏溧阳市实验初级中学）endprint