“四基”理念下图形模型应用策略的实践探索

王丽兵

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）的课程基本理念之一就是要“使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想和方法，获得基本的数学活动经验”，这也就是我们所说的“四基”。前东北师范大学校长、著名数学教育研究专家史宁中教授认为 ：“基本的数学思想有三个：分别是抽象、推理和模型。”因此，作为一项重要的思维品质，模型思想已经得到了广泛的认可和尊重。但由于当前部分教师存在以简洁抽象为追求目标的模型观，容易导致数学模型被“过早”“过快” 地抽象化，从而造成课堂价值追求的盲目性和数学模型的单一性。本文正是基于上述原因的考虑，开展对图形模型应用的研究，以期进一步丰富教师对于模型及其思想的认识。

那么，什么是图形模型呢？笔者认为，图形模型其实质是以图形结构的方式描述数量之间的关系及同类事物的共同属性，它是分析问题、解决问题及其他思维能力培养的重要载体，也是数学模型的重要表现形式之一。因此，图形模型在儿童数学能力培养方面具有重要的地位。笔者认为，作为落实“四基”的重要手段和途径，图形模型的应用需要在以下几方面着重加以落实。

一、以数学问题为核心，操作体验为重点

在教学中，教师应该有意识地让问题成为学生感知和思维的对象，从而在学生心里造成一种悬而未决但又必须解决的求知状态，进而为图形模型应用奠定良好的心理需求基础。同时，由于思维习惯的不同，即使面对相同的问题也会因个体思维差异而形成多元的思维结果，这就使课堂生成了诸多可以利用的模型资源，同时建构模型的过程也会强化学生对问题的分析体验。

【案例1】人教版教材四年级下“方阵问题”的教学片段

师（出示上图）：围棋盘的最外层每边能放19枚棋子。（停顿，引导学生观察）如果现在要你求“最外层一共可以摆多少枚”，你知道怎么求吗？

生：19×4=76。

师：你是用计算周长的方法计算，这样的方法对吗？

生：不对！没那么简单！有几颗是重复算了。

师：那么究竟谁更有道理？大家能不能用自己的方法解决这个问题？（能）

师出示操作要求：

学生操作完成后，反馈交流。

师：你们认为最外层一共有几枚棋子？

生（众）：72枚。

师：都是72枚吗？（是）

师：你们是用什么方法知道一共有72枚的？能用图形的方式介绍给大家吗？

教师指名多名学生到黑板上来画，并整体比较。

师：这么多方法，你看懂了哪一种？它们之间相同或者不同在什么地方？

学生四人小组讨论后反馈。

生：我看懂了第一种19×4-4=72，因为每边19枚，有4枚重复算了，所以要减4。

师：你们能看懂减去的是哪4枚？（生在图上指）

师：第二种方法中重复的棋子在哪里呢？

生：第二种没有重复，把每条边当成19-1=18枚来算，就有4×18=72。

生：第三种列式为19×2+17×2=72。

师：请问17是从哪里来的？

生：每边19枚，减掉两端的两枚，中间剩下来的就是17枚。

生：第四种列式为17×4+4=72。

师：前面算式都要减去4，为什么这种方法最后要加上4？

生：因为这4枚是漏算的，所以最后要再加上。

师：通过图形想算式，的确是非常好的学习方法！那如果反过来，老师只给你算式，你也能相应地画出图形吗？它们又会是怎样的一幅图呢？

师出示： （3-1）×4 3×4-4

生独立操作后，投影反馈。

（3-1）×4 3×4-4

师小结：看来我们刚才用画图的方法不仅解决了问题，而且发现很多类似的问题也能用这样的方式去解决。

归纳：（每边个数-1）×4=总个数，每边个数×4-4=总个数。

从上述教学过程来看，显然“棋盘最外层一周一共有多少枚棋子”成了课堂研究的核心。也正是这样一个看似简单却又相对易错的问题，较为成功地激发起了学生解决问题的愿望，为图形模型的应用引入找到了很好的切入点。随后，笔者以“用尽可能多的方法来解决问题”引导学生思考方法的多样性，同时也通过“挑一种最满意的方法简单画一画”为图形模型种类的丰富性创造了可能。从效果来看，学生所设计生成的图形模型种类丰富、形式多样，且都较为直观地展示了各边棋子与总数之间的关系。虽然“每条边19枚棋子”的条件具有特殊性，但“粗犷”的图形模型却在功能上表现出了较大的一般性，进而扩大了图形模型应用的价值和范围。因此，一个具有适度挑战性的问题应该是一类问题的缩影，这也是儿童图形模型应用能力培养的一个重要先决条件。

另外，除了研究的问题以外，充分的操作体验活动也是图形模型应用意识培养必不可或缺的环节，它也是图形模型信息内化的一个过程。相对于“（每边个数-1）×4=总个数”、“每边个数×4-4=总个数”等数学模型来说，经过充分活动体验而形成的图形思维模型，凭借其直观的表象更容易被大脑所存储和提取。所以，开展有层次的操作体验活动，不仅能够使学生进一步积累解决问题的经验，也能使图形模型的表象更加凸显。

二、以图形表达为方式，展示解读为方法

图形模型是以图形为表达语言的模型形式。从某种角度来说，图形模型就是以几何直观的方式描述数量关系和数学内在规律，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，将抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现数学语言与具体表象间的联系和转化。显然，上述化难为易的理念比较符合小学阶段儿童形象思维为主的特点。

另外，图形模型应用能力的发展有其自身的发展规律，它往往渗透在数学课程的各个领域，并不是某个领域单独的任务职责。这说明教师需要树立一个长期培养的意识，并不断挖掘和创造能够有利于儿童模型思想形成和发展的学习素材，着重落实模型的建构和解读，发展学生的模型思想。endprint

【案例2】人教版教材四年级下“植树问题”教学片段

师：数学学习离不开图形和符号，老师用这样一条线段（见下图）来表示一条长20米的小路，大家觉得可以吗？（生众：可以）

20米

师：如果我们要在这条路上种树，并要求尽可能做到美观的话，大家觉得至少需要考虑哪些因素呢？

生：间隔。

师：也就是两棵树之间的距离。（板书：间隔）

师出示补充信息：“在路的一边，每隔5米种一棵。”

师：结合你初步的设计构想，能具体说一说可以在上面种几棵树？

师随机采访：你认为可以种几棵？还有其他可能吗？

生：5棵。

生：4棵。

生：3棵。

师：是不是都有可能呢？能不能把你所想到的方案，在作业纸上画下来？

学生自主画方案设计图，集体展示反馈。

师（指名生画一画）：把你的种树方案用最简单的线条画出来。

师：为什么同样长的路，同样是间隔5米种一棵，为什么棵数会不一样呢？

生：种法不一样，棵数也不一样。

师：究竟有什么地方不同呢？

师生命名：两端都种、只种一端、两端都不种。

师：虽然种法不同，但在哪些方面又是相同的呢？

生：间隔数长度和数量，小路的总长度都是20米。

师：那如果是在长200米、2000米的小路上种树，棵数又会怎样变化呢？

在教学中可以发现，教师把教学着力点落在了对于不同种树方案的图形描述和解读上，而并没有重点关注计算结果本身。一方面通过这样的思考，帮助学生积累解决问题的经验；另一方面，也可以通过简单的图形描述感受图形模型在具体解决问题过程中的意义和价值。“” 上述图形虽然形式简单，但依托对于两个端点的准确区分，形象地展示了三种不同的思维模型。同时，通过对于“长20米的小路”思维模型的解读和强化，使学生对长200米、2000米小路也产生类推联想，从而感悟这种模型所具有的独特代表性。因此，通过对整组不同类型图形模型的观察和推理，为有效解决植树类问题找到了很好的突破口。

《标准》指出：“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”这一观点也就正视了当前教学主体差异性的存在。因此，在对学生进行图形模型应用能力培养的过程中，教师应该允许学生对图形模型的分析和信息解读存在个性化差异，并把这种差异当成有效的课堂生成资源加以应用和分析。

三、以建构模型为导向，能力培养为目标

通过数学建模的过程可以使学生多方面的能力得到培养，因此，在教学中教师要注意落实对模型思想的追求。模型思想蕴含在数学建模过程当中，执教者只有不断加以引导和挖掘，才有可能帮助学生实现由量的积累到质的飞跃。

【案例3】人教版教材六年级下“正比例的意义”的教学片段

高度/厘米 2 4 6 8 10 12

体积/立方厘米 50 100

师：只知道高度，怎么求出体积呢？请同学们完成表格。

师：体积和高度的变化有什么规律？

师：底面积真的一定吗？你能否举例说说？

生：====……=25。

师生小结：看来，圆柱的底面积一定，也就是相对应的水的体积和高度的比值一定，=圆柱的底面积（一定）。

师：如果用下面的图象表示体积与高度的变化规律，你能发现什么？

生：所描的点在同一条直线上。

师：不计算，根据图像判断，如果杯中水的高度是7厘米，那么水的体积是多少？225 立方厘米水有多高？14厘米高的时候，水的体积有多少呢？

在对正比例图象的观察中，学生已经强烈地感受到这个图象变化的规律，并通过对于纵轴和横轴的观察与比较以及7厘米、14厘米时水体积的判断，强化了对图形模型的解读和应用，这也是函数思想的初步渗透。因为《标准》也指出：“认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识。”由于“模型思想本身就渗透于各课程内容领域之中，而突出模型思想则有利于更好地理解、掌握所学习的内容。因此，上述以数学模型建构为指向的课堂教学，必然能够给学生带来更多思维发展的空间和可能。

总之，教师要落实《标准》所提出的“四基”基本理念，培养学生的创新意识和实践能力，就必须树立长期培养的意识，并通过各种途径对学生有效渗透数学基本思想的培养，促进学生思维品质的发展。但同时教师也要清醒地认识到，虽然图形模型以直观、形象为主要特点，但抽象化仍然是它未来发展的主要趋势。因此，教师要准确把握各个学段的阶段性发展目标，既不能操之过急，也不能停滞不前，只有遵循学生思维发展的规律，有效地选择应用图形模型教学，才可能使数学建模过程充满活力，最终实现课堂教学最大的收益。

（浙江省杭州市学军小学 310012）endprint

【案例2】人教版教材四年级下“植树问题”教学片段

师：数学学习离不开图形和符号，老师用这样一条线段（见下图）来表示一条长20米的小路，大家觉得可以吗？（生众：可以）

20米

师：如果我们要在这条路上种树，并要求尽可能做到美观的话，大家觉得至少需要考虑哪些因素呢？

生：间隔。

师：也就是两棵树之间的距离。（板书：间隔）

师出示补充信息：“在路的一边，每隔5米种一棵。”

师：结合你初步的设计构想，能具体说一说可以在上面种几棵树？

师随机采访：你认为可以种几棵？还有其他可能吗？

生：5棵。

生：4棵。

生：3棵。

师：是不是都有可能呢？能不能把你所想到的方案，在作业纸上画下来？

学生自主画方案设计图，集体展示反馈。

师（指名生画一画）：把你的种树方案用最简单的线条画出来。

师：为什么同样长的路，同样是间隔5米种一棵，为什么棵数会不一样呢？

生：种法不一样，棵数也不一样。

师：究竟有什么地方不同呢？

师生命名：两端都种、只种一端、两端都不种。

师：虽然种法不同，但在哪些方面又是相同的呢？

生：间隔数长度和数量，小路的总长度都是20米。

师：那如果是在长200米、2000米的小路上种树，棵数又会怎样变化呢？

在教学中可以发现，教师把教学着力点落在了对于不同种树方案的图形描述和解读上，而并没有重点关注计算结果本身。一方面通过这样的思考，帮助学生积累解决问题的经验；另一方面，也可以通过简单的图形描述感受图形模型在具体解决问题过程中的意义和价值。“” 上述图形虽然形式简单，但依托对于两个端点的准确区分，形象地展示了三种不同的思维模型。同时，通过对于“长20米的小路”思维模型的解读和强化，使学生对长200米、2000米小路也产生类推联想，从而感悟这种模型所具有的独特代表性。因此，通过对整组不同类型图形模型的观察和推理，为有效解决植树类问题找到了很好的突破口。

《标准》指出：“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”这一观点也就正视了当前教学主体差异性的存在。因此，在对学生进行图形模型应用能力培养的过程中，教师应该允许学生对图形模型的分析和信息解读存在个性化差异，并把这种差异当成有效的课堂生成资源加以应用和分析。

三、以建构模型为导向，能力培养为目标

通过数学建模的过程可以使学生多方面的能力得到培养，因此，在教学中教师要注意落实对模型思想的追求。模型思想蕴含在数学建模过程当中，执教者只有不断加以引导和挖掘，才有可能帮助学生实现由量的积累到质的飞跃。

【案例3】人教版教材六年级下“正比例的意义”的教学片段

高度/厘米 2 4 6 8 10 12

体积/立方厘米 50 100

师：只知道高度，怎么求出体积呢？请同学们完成表格。

师：体积和高度的变化有什么规律？

师：底面积真的一定吗？你能否举例说说？

生：====……=25。

师生小结：看来，圆柱的底面积一定，也就是相对应的水的体积和高度的比值一定，=圆柱的底面积（一定）。

师：如果用下面的图象表示体积与高度的变化规律，你能发现什么？

生：所描的点在同一条直线上。

师：不计算，根据图像判断，如果杯中水的高度是7厘米，那么水的体积是多少？225 立方厘米水有多高？14厘米高的时候，水的体积有多少呢？

在对正比例图象的观察中，学生已经强烈地感受到这个图象变化的规律，并通过对于纵轴和横轴的观察与比较以及7厘米、14厘米时水体积的判断，强化了对图形模型的解读和应用，这也是函数思想的初步渗透。因为《标准》也指出：“认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识。”由于“模型思想本身就渗透于各课程内容领域之中，而突出模型思想则有利于更好地理解、掌握所学习的内容。因此，上述以数学模型建构为指向的课堂教学，必然能够给学生带来更多思维发展的空间和可能。

总之，教师要落实《标准》所提出的“四基”基本理念，培养学生的创新意识和实践能力，就必须树立长期培养的意识，并通过各种途径对学生有效渗透数学基本思想的培养，促进学生思维品质的发展。但同时教师也要清醒地认识到，虽然图形模型以直观、形象为主要特点，但抽象化仍然是它未来发展的主要趋势。因此，教师要准确把握各个学段的阶段性发展目标，既不能操之过急，也不能停滞不前，只有遵循学生思维发展的规律，有效地选择应用图形模型教学，才可能使数学建模过程充满活力，最终实现课堂教学最大的收益。

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【案例2】人教版教材四年级下“植树问题”教学片段

师：数学学习离不开图形和符号，老师用这样一条线段（见下图）来表示一条长20米的小路，大家觉得可以吗？（生众：可以）

20米

师：如果我们要在这条路上种树，并要求尽可能做到美观的话，大家觉得至少需要考虑哪些因素呢？

生：间隔。

师：也就是两棵树之间的距离。（板书：间隔）

师出示补充信息：“在路的一边，每隔5米种一棵。”

师：结合你初步的设计构想，能具体说一说可以在上面种几棵树？

师随机采访：你认为可以种几棵？还有其他可能吗？

生：5棵。

生：4棵。

生：3棵。

师：是不是都有可能呢？能不能把你所想到的方案，在作业纸上画下来？

学生自主画方案设计图，集体展示反馈。

师（指名生画一画）：把你的种树方案用最简单的线条画出来。

师：为什么同样长的路，同样是间隔5米种一棵，为什么棵数会不一样呢？

生：种法不一样，棵数也不一样。

师：究竟有什么地方不同呢？

师生命名：两端都种、只种一端、两端都不种。

师：虽然种法不同，但在哪些方面又是相同的呢？

生：间隔数长度和数量，小路的总长度都是20米。

师：那如果是在长200米、2000米的小路上种树，棵数又会怎样变化呢？

在教学中可以发现，教师把教学着力点落在了对于不同种树方案的图形描述和解读上，而并没有重点关注计算结果本身。一方面通过这样的思考，帮助学生积累解决问题的经验；另一方面，也可以通过简单的图形描述感受图形模型在具体解决问题过程中的意义和价值。“” 上述图形虽然形式简单，但依托对于两个端点的准确区分，形象地展示了三种不同的思维模型。同时，通过对于“长20米的小路”思维模型的解读和强化，使学生对长200米、2000米小路也产生类推联想，从而感悟这种模型所具有的独特代表性。因此，通过对整组不同类型图形模型的观察和推理，为有效解决植树类问题找到了很好的突破口。

《标准》指出：“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”这一观点也就正视了当前教学主体差异性的存在。因此，在对学生进行图形模型应用能力培养的过程中，教师应该允许学生对图形模型的分析和信息解读存在个性化差异，并把这种差异当成有效的课堂生成资源加以应用和分析。

三、以建构模型为导向，能力培养为目标

通过数学建模的过程可以使学生多方面的能力得到培养，因此，在教学中教师要注意落实对模型思想的追求。模型思想蕴含在数学建模过程当中，执教者只有不断加以引导和挖掘，才有可能帮助学生实现由量的积累到质的飞跃。

【案例3】人教版教材六年级下“正比例的意义”的教学片段

高度/厘米 2 4 6 8 10 12

体积/立方厘米 50 100

师：只知道高度，怎么求出体积呢？请同学们完成表格。

师：体积和高度的变化有什么规律？

师：底面积真的一定吗？你能否举例说说？

生：====……=25。

师生小结：看来，圆柱的底面积一定，也就是相对应的水的体积和高度的比值一定，=圆柱的底面积（一定）。

师：如果用下面的图象表示体积与高度的变化规律，你能发现什么？

生：所描的点在同一条直线上。

师：不计算，根据图像判断，如果杯中水的高度是7厘米，那么水的体积是多少？225 立方厘米水有多高？14厘米高的时候，水的体积有多少呢？

在对正比例图象的观察中，学生已经强烈地感受到这个图象变化的规律，并通过对于纵轴和横轴的观察与比较以及7厘米、14厘米时水体积的判断，强化了对图形模型的解读和应用，这也是函数思想的初步渗透。因为《标准》也指出：“认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识。”由于“模型思想本身就渗透于各课程内容领域之中，而突出模型思想则有利于更好地理解、掌握所学习的内容。因此，上述以数学模型建构为指向的课堂教学，必然能够给学生带来更多思维发展的空间和可能。

总之，教师要落实《标准》所提出的“四基”基本理念，培养学生的创新意识和实践能力，就必须树立长期培养的意识，并通过各种途径对学生有效渗透数学基本思想的培养，促进学生思维品质的发展。但同时教师也要清醒地认识到，虽然图形模型以直观、形象为主要特点，但抽象化仍然是它未来发展的主要趋势。因此，教师要准确把握各个学段的阶段性发展目标，既不能操之过急，也不能停滞不前，只有遵循学生思维发展的规律，有效地选择应用图形模型教学，才可能使数学建模过程充满活力，最终实现课堂教学最大的收益。

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