数系的扩充与复数的引入

谢绍义++邹家安

解决复数问题的基本思路是利用复数相等的充要条件将复数问题实数化，利用复数及其运算的几何意义将复数问题几何化.通过复数可以考查方程思想、数形结合思想、转化与化归思想和运算求解、推理论证的能力.

1.复数的基本概念

理解复数的基本概念，就是会将问题中的复数写成代数形式，能指出其实部与虚部；能根据定义，判断已知复数是否为实数、虚数、纯虚数？判断两已知复数是否相等、是否共轭？讨论一个复数何时为实数，何时为虚数，何时为纯虚数，讨论两复数何时相等，何时共轭？

点拨 本题考查复数代数形式的运算及复数相等的充要条件，两种解法的选择能够反映出思维的灵活程度.

3.复数代数形式的四则运算

复数代数形式的加、减法，形式上与多项式的加、减法类似；复数代数形式的乘法也与多项式相乘类似；但复数代数形式的除法应先将分母“实数化”，再按乘法化简. 理解复数的四则运算就是掌握上述法则的应用.

点拨 （1）当年作为高考文、理卷第一题，让很多人措手不及；事后有老师认为本题是求实系数一元二次方程的虚根，超出了课标要求，其实不是要解方程，而是检验已知复数是不是方程的解，是考查复数的乘法、加法运算，没有超纲.（2）在复数代数形式的运算中，如能熟记一些特殊复数的运算规律，将会使运算效率大大提高.常见的运算规律如下.

4.复数的代数表示法及几何意义

5.复数代数形式的加、减法的几何意义

复数代数形式的加法的几何意义，就是复数加法按照向量的加法来进行，即平行四边形法则、三角形法则. 复数代数形式减法的几何意义是复数减法按向量减法进行，即三角形法则. 了解复数加法、减法的几何意义就是要在复平面中利用向量加、减运算解决有关复数问题.endprint

解决复数问题的基本思路是利用复数相等的充要条件将复数问题实数化，利用复数及其运算的几何意义将复数问题几何化.通过复数可以考查方程思想、数形结合思想、转化与化归思想和运算求解、推理论证的能力.

1.复数的基本概念

理解复数的基本概念，就是会将问题中的复数写成代数形式，能指出其实部与虚部；能根据定义，判断已知复数是否为实数、虚数、纯虚数？判断两已知复数是否相等、是否共轭？讨论一个复数何时为实数，何时为虚数，何时为纯虚数，讨论两复数何时相等，何时共轭？

点拨 本题考查复数代数形式的运算及复数相等的充要条件，两种解法的选择能够反映出思维的灵活程度.

3.复数代数形式的四则运算

复数代数形式的加、减法，形式上与多项式的加、减法类似；复数代数形式的乘法也与多项式相乘类似；但复数代数形式的除法应先将分母“实数化”，再按乘法化简. 理解复数的四则运算就是掌握上述法则的应用.

点拨 （1）当年作为高考文、理卷第一题，让很多人措手不及；事后有老师认为本题是求实系数一元二次方程的虚根，超出了课标要求，其实不是要解方程，而是检验已知复数是不是方程的解，是考查复数的乘法、加法运算，没有超纲.（2）在复数代数形式的运算中，如能熟记一些特殊复数的运算规律，将会使运算效率大大提高.常见的运算规律如下.

4.复数的代数表示法及几何意义

5.复数代数形式的加、减法的几何意义

复数代数形式的加法的几何意义，就是复数加法按照向量的加法来进行，即平行四边形法则、三角形法则. 复数代数形式减法的几何意义是复数减法按向量减法进行，即三角形法则. 了解复数加法、减法的几何意义就是要在复平面中利用向量加、减运算解决有关复数问题.endprint

解决复数问题的基本思路是利用复数相等的充要条件将复数问题实数化，利用复数及其运算的几何意义将复数问题几何化.通过复数可以考查方程思想、数形结合思想、转化与化归思想和运算求解、推理论证的能力.

1.复数的基本概念

理解复数的基本概念，就是会将问题中的复数写成代数形式，能指出其实部与虚部；能根据定义，判断已知复数是否为实数、虚数、纯虚数？判断两已知复数是否相等、是否共轭？讨论一个复数何时为实数，何时为虚数，何时为纯虚数，讨论两复数何时相等，何时共轭？

点拨 本题考查复数代数形式的运算及复数相等的充要条件，两种解法的选择能够反映出思维的灵活程度.

3.复数代数形式的四则运算

复数代数形式的加、减法，形式上与多项式的加、减法类似；复数代数形式的乘法也与多项式相乘类似；但复数代数形式的除法应先将分母“实数化”，再按乘法化简. 理解复数的四则运算就是掌握上述法则的应用.

点拨 （1）当年作为高考文、理卷第一题，让很多人措手不及；事后有老师认为本题是求实系数一元二次方程的虚根，超出了课标要求，其实不是要解方程，而是检验已知复数是不是方程的解，是考查复数的乘法、加法运算，没有超纲.（2）在复数代数形式的运算中，如能熟记一些特殊复数的运算规律，将会使运算效率大大提高.常见的运算规律如下.

4.复数的代数表示法及几何意义

5.复数代数形式的加、减法的几何意义

复数代数形式的加法的几何意义，就是复数加法按照向量的加法来进行，即平行四边形法则、三角形法则. 复数代数形式减法的几何意义是复数减法按向量减法进行，即三角形法则. 了解复数加法、减法的几何意义就是要在复平面中利用向量加、减运算解决有关复数问题.endprint