抓住题目特点，求代数式的值

姚文治

摘 要：代数式的求值问题涉及面广，它和代数式的变形、分式的运算、二次根式的化简、一元二次方程根与系数都有密切的关系，中考中也常常涉及，而有相当一部分学生，在求代数式的值时，不注意观察题目特点，不考虑题目的技巧性，结果使得求值过程比较复杂，有些甚至无法求出结果，所以求代数式的值时，若能抓住题目的特点选择适当方法，不仅可使求值由难到易，由繁到简，而且还可提高学生思维的灵活性。

关键词：代数；方式；代数式

下面略举实例。

例1：若a+b=8，求a2+b2+2ab-8a-8b+16的值。

分析：解此題要抓住题目特点，通过观察，此题看起来代数较长，但不难发现，所求代数式可化为a+b的表达式，把a+b的值整体代入，问题便可获得解决。

解：原式=（a+b）2-8（a+b）+16

=（a+b-4）2

把a+b=8代入，原式=（8-4）2=16

例2：（1）已知：x=■，xy=1，求代数式2x2-4xy+2y2+1的值；

（2）已知：x=■，求代数式■+■的值。

分析：解这类题目，若直接把x的值和y的值代入，计算起来相当麻烦，若能把已知条件化简和把代数式化简，再代入计算，计算起来就显得特别简单。

解：（1）由已知：x=■，化简得：x=■=■-1，

由xy=1，得y=■=■=■+1.

将代数式：2x2-4xy+2y2+1，变形为：2（x-y）2+1

把x=■-1，y=■+1代入，原式=2（■-1-■-1）2+1=8+1=9

（2）已知：x=■，化简得：x=■，

再化简代数式：■+■=■+■

=x-3+x+2=2x-1

把x=■代入，得

原式=2×■-1=■

例3：（1）已知：x1、x2是方程x2-7x+5=0的两根。求代数式（x1-5）（x2-5）的值。

（2）已知：x1、x2是方程2x2-6x+3=0的两根。求代数式■+■的值。

分析：此类题目有两种方法，第一种可先算出方程的两个根再求值，第二种方法则利用根与系数的关系，先求出x1+x2与x1x2的值，然后再把所求代数式化成x1+x2与x1x2的表达式后求值，但由于方程的解不是有理数，用第一种方法计算起来肯定很繁，但用第二种方法就显得容易多了。

解：（1）由根与系数的关系得：x1+x2=7，x1x2=5.

（x1-5）（x2-5）=x1x2-5（x1+x2）+25

=5-5×7+25=-5

（2）由根与系数的关系得：x1+x2=3，x1x2=■

∴■+■=■+■=■=■=■

有的求值题，分别给出x+y，xy的值，求，x2+y2，x3+y3，■+■的值，也同样可利用上述方法解决。

例3：已知a2-■a=1，b2-■b=1，且a≠b，求：■+■的值。

分析：所求代数式中的字母a、b，题中通过a2-■a=1，b2-■b=1给出，如果我们通过一元二次方程求出a、b的值后再代入代数式中，显然十分麻烦，这时认真观察a2-■a=1，b2-■b=1会发现这两个一元二次方程的“对应项”系数相等，因此可将a、b看做方程x2-■x-1=0的两根，利用根与系数的关系容易求出代数式的值。

解：∵a2-■a=1，b2-■b=1，且a≠b

将a、b看做方程x2-■x-1=0的两根。

a+b=■，ab=-1.

∴■+■=■=■=-5

从以上实例可见，求代数式的值，方法多种多样，既有灵活性，又有技巧性，同时还涉及很多知识点，只要能抓住题目特点，认真分析，找到求值关键，就能较快地求出代数式的值。

？誗编辑 马燕萍