数学课堂教学“七原则”

曹洪辉

（绩溪县教研室 安徽 宣城 245300）

数学课堂教学改革的成效在一定意义上取决于对各种教学原则和各种教学方法的灵活运用。经过多年的学习、实践与研究，笔者比较全面地总结了小学数学课堂教学改革的七个原则，现一一加以阐述，供业界参考。

一、层次性原则

如同地壳的构造一样，任何事物的构成与运动都是按其固有的层次组成和发展的。人类的数学学习，正如弗赖登塔尔所指出的，“学习过程是由各种层次构成的，用低层次的方法组织的活动就成为高层次的分析对象；低层次的运算内容又成为高层次的题材。”[1]基于此，数学教材的编写、数学活动的设计、教学过程的组织都应根据学习内容的层次系统和学生学习的规律来进行。那么，对学生的数学课堂学习，我们又应按怎样的层次来组织呢？笔者认为，从学生的思想认识、实际接受能力与内在需要上考虑，应该按“最低层次——浅层次——较高层次——高层次”渐次发展，这是保证有效教学的一个首要原则。

事实上，一些课堂仍停留在传统的习惯上，跳过了某一层次，尤其是跳过了“最低层次”，这显然犯了一个错误。“最低层次”上的活动是数学学习的前驱，是为下一阶段的数学学习做准备的，是与接下来的一些层次在更高程度上融合密切相关的，虽然这个层次在教学时间上是较短的，但却是不可缺少的。我们通常所说的“情境导入”就是教学组织过程中的“最低层次”，这个层次在“情境”的设计上，有的看似是非数学的、不相干的，但对学生的过渡迁移和情绪转移又是必需的。当组织到下一个层次，学生的学习在教师的引领下可以反思并分析在最低层次中的信息组织和活动方法时，学生的学习才会有效地达到高一级的层次。有些教学在实际操作中，有可能超过学生的实际层次或跳过某一层次，结果会是怎样呢？如在学生不懂分数的意义就给学生训练分数的运算，也就是说，不涉及“分数”活动的意义，只是借助一些简明的法则，来教给学生超过其实际理解水平的熟练技能。那么学生以这种算法获得的某种能力或保持的记忆，即使能够应付一次测验或考试，却极有可能造成不会理解和应用，那么教学的效益则会大打折扣。分数的例子还表明，每一个层次都不可跳过，分数在某一个层次上（如分数与分数相加减）可以直观地运算，而在下一层次中，必须将分数化简等问题形式化为一定的规则，然后才可以进行运算。虽然教科书的编写层次分明，可有的教师往往在最低层次或一个较低的层次上让学生过早地甚至还没有经历足够的亲身体验或思考、理解而强迫他们转入下一层次，这明显无益于真正的数学学习；只有有层次地组织学生亲身感受与经历，让学生理解分数的意义和应用取向，才是帮助学生学好数学的内力所在。

二、联系性原则

让学生学会数学，一个重要的方面就是希望学生能学会如何去用数学，多方面联系的数学可帮助学生领悟数学的灵活性和创造性，增强用数学的主观意识和自觉行为。这恰是夸美纽斯所主张的：人们学习的每件事情都应该是充满着联系的。课程之间的联系、学科之间的联系、数学内部的联系、数学与外部的联系以及各种活动之间的联系等都充分揭示了教育的联系性原则。创新就是基于发现来寻找事物之间的各种联系。数学是一个有组织的系统，我们必须清楚：哪些联系是直接的，哪些联系是间接的，数学的内部与外部有着怎样的关联等。数学课程改革已经明确，要加强数学与现实生活的联系。笔者认为，数学源于现实又寓于现实，数学与现实生活的联系不单单是为课本数学找到生活的原型，更为重要的应该要弄清数学与学生亲身体验的现实之间的联系。因为，与现实生活经历的联系，保证了数学理解的正确性、记忆的持久性和应用的能动性。也正是这一更自然、更重要的数学与外部的联系的教育培养和加强，才能保证课堂教学效益的提高。

如何有效加强数学与现实生活的联系？在弗赖登塔尔看来，类比就是建立数学内部与外部联系的一种甚为有效的手段，它可处理数学内部与外部的各种情境，具有很大的教育价值。因为通过对象之间的类比，可以由一个解释另一个，从而使学生产生兴趣，使人信服，并能形成抽象的想象能力。现实中，许多数学教学都密切关注了数学与生活的联系，他们要么将大量的生活素材经过自己的提炼或加工用于数学课堂，要么就依据现实的生活场景通过“故事、游戏、模拟”等“同构”的方式来作为激发学生动机的手段。应该说，这种人为的加工和虚假的现实往往使学生丧失了亲身经历的机会，其联系的有机性、根本性不强。充满着联系的数学，最为本质的是联系亲身经历的现实，而不是生造的虚假的现实。尽管那些所谓的“创造”是多么迷人并能引起兴趣，但它永远代替不了现实的作用，只有亲身经历的现实性联系才是学好数学的真正支柱。因此说，有效落实联系性原则，要求我们不要错过学生亲身经历现实联系的任何一次机会：凡是能够让学生通过动手操作获得的，教师不要演示讲解；凡是能够让学生通过自主探究发现的，教师不要强加给予；凡是能够让学生通过合作交流总结的，教师不要包办代替。只有学生在数学活动中真正参与了与现实生活的各种联系，课堂才会彰显活力，体现数学学习的本质。

三、问题性原则

数学是儿童全面发展的重要载体，问题和问题解决构成了数学学习的重要特征。著名数学家波利亚的一本《怎样解题》，充分揭示了“数学来自于人类的问题提出和问题解决，因此，问题是数学发展的生长点”。[2]这可以说是问题性教学原则的最好诠释。数学教育发展的历史，在某种意义上说，是问题和问题解决的教育历史，从“进步教育——大众教育——现代教育”的数学教育改革理念上看，都把问题和问题解决作为数学教育的重要目标。当下的数学课程改革在吸纳与批判中更趋理性，体现了人才培养的国家意志，把培养学生提出问题和解决问题的实践能力和创新精神作为数学教育的核心价值。

小学数学传统中的鸡兔同笼问题、抽屉原理、植树问题、年龄问题、行程问题、工程问题、密铺问题和简单的排列组合问题等各种典型的数学问题，是培养学生探究和解决问题的能力重要课程资源，历来在数学教育中发挥了锻炼思维、启迪智慧的积极作用；还有一些像舶来的如“船长的年龄问题”“屠夫的问题”等现实性很强的数学问题，可极大地培养学生联系实际、思考数学、解决问题的思维能力。回顾和考察我们多年的数学教育，审视和反思我们多数的现实课堂，一个似乎被传统所凝固的客观事实不容回避，那就是对问题与问题解决的教学模式，依然保留着对内容和形式的控制，更为不幸的是有的干脆就直接“塞”给学生解决各种问题的相应模型，并让学生牢牢记住。如此的课堂几乎看不到学生发现问题、提出问题的真实情景，也几乎看不到学生解决问题的真正过程，学生的问题意识被教师的问题意识所代替，显然这种教学背离了问题性教学原则。全面而深入地落实好问题性教学原则，我们不仅要在如何创设充满刺激的问题情境（学习的发生环境）、如何指导学生解决问题上下功夫，更为重要的是，要在设置的问题情境或相应的背景中如何引导学生发现问题、提出问题并尝试解决问题上动脑筋。比如，仔细观察和思考这样的情景，你发现了哪些信息？你会提出相关的数学问题吗？你提出这个问题是怎么想的？你自己会解决提出的问题吗？与此同时，我们要努力营造一个安定和谐的课堂社会环境，因为这是支撑学生积极思考、主动发现、大胆提问的重要条件。对此，教师要针对课堂共同体之间的相互影响并随课堂的进展情况适时做好课堂上的权力转让或权力置换。只有这样精心设计和组织教学，问题和问题解决的教学目标才更有可能达成。

四、活动性原则

教学是一个有组织的活动，一堂课的进展是由同伴们（师与生、生与生）的相互影响、相互作用展开的。不难发现，从诸多的公开课教学中，我们可以领悟到大量课堂设计的活动方式和组织过程，表面上彰显了学生的主体活动，仔细考量，课堂内的各种互动，尤其是从自始至终“动口”的时间上看，还是教师在唱“主角戏”，有的看似学生在动口动手，实际上，大多的都是在教师的指令下进行的，其应有的自由时间被支配了，一定程度上说学生是“被主动”的。活动性原则强调的是有指导的活动和学生自主自由活动的统一。正如空气对于健康一样，自由时间对于学生是必不可少的。明智的、善于思考的教师能给学生赢得自由活动时间。苏霍姆林斯基曾这样说过：“学生在课堂上学习其自由时间支配得越少，这就意味着学生在课后‘被支配’的学习时间越多……为了保证学习效果，一些教师只能借课后大量的习题来片面强化学生对于知识的熟练程度，这或许是导致学生负担加重的重要原因之一……因此说，课堂上滥用和浪费时间的问题是一个很大的教育学问题，值得我们认真地加以思考。”[3]改革数学课堂教学的一个重要方面在于为学生提供一定的自由时间，这个时间的来源在于教师对于课堂活动的组织方式和互动时间的合理控制。只有让学生不把全部的时间都用在被迫的学习上，留下一些自由支配的时间，他才能获得愉快而顺利的学习。儿童的本义是自由，回到儿童的本义上去，才会赢得真正的教育。

必须指出的是，让儿童拥有课堂的自由时间，并非让儿童放纵自由，而是在一个宽松、安全与自由的环境里，围绕任务所进行的活动自由，包括动手操作、思考问题、交流看法以及适当的空间位移的自由，这是落实活动性原则的意义所在。就此，教师在开展数学活动的设计与组织实施的过程中，应依据内容和形式，计划好40分钟内学生自由活动的方式和自由时间的比率，最大限度地满足学生的愿望或需要。要切实做到这一点，教师必须走出传统，走进儿童，牢记“讲得越多塞得越满，给学生留下的供学生思考与学习直接有关的东西的时间就越少，那么学生负担过重、学业落后的可能性就越大”，由此从根本上回到儿童喜欢的学习活动上去。

五、创造性原则

这里提出的创造性原则，主要是借鉴弗赖登塔尔反复强调的一个观点：学习数学的唯一正确的方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的活动，而不是把现成的知识灌输给学生。所以，创造性原则也可说是再创造原则。弗氏在反观数学教育历史时曾尖锐地指出：“在各类教育中主要的一个问题是教师如何测试学生的进展，单纯让学生鹦鹉学舌地复述所学的现成数学，当然不能满意。于是问题就演变为练习，而测验材料最终成了教学的目的。一个世纪以来的考试问题证实了长期以来所教的沉闷的模仿数学，不是有效的教学，而是无价值的数学。”[4]重温这段精辟的论述，目的就是不能让历史的发展和教育的改革重蹈覆辙。

运用再创造原则，必须满足“在创造的自由性和指导的约束性之间，以及在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间达到一种微妙的平衡。”[5]要达到这样的要求，关键在于教师要深刻领会各种教学原则和方法，围绕课程内容，正确把握好以下三个问题：往哪儿指导？在哪儿指导？怎样指导？第一个问题的回答可以简单地说，就是到寻找和发现这个数学结果或法则的过程与方法中去指导，而不是让学生单纯地记住和应用这个结果。对于第二个问题我们首先要明确，这是针对某一课程内容或具体情境的指导，一条基本的又是重要的原则就是在密切联系实际的现实中指导。如教某一“乘法口诀”，教师可根据班级学生数的多少，将学生分成人数大致一样的若干个小组，每个小组（如6人，条件是若全班学生在54人以上）围坐在一起构成一个长方形或圆圈，让每个小组的学生按照指定的位置从1开始报数，轮到谁就自己报数，并记住自己所报的数。一圈、两圈、三圈……直到9圈后暂停。在每个组成的圈里，第一个人报的是哪些数？第三个人呢？第六个人呢？从刚才报数的活动中，有哪些发现？这一现实就是一个创造“6的乘法口诀”的数学化过程。脱离了“现实”情境，有指导的再创造（也包括学生的直接创造）就将是无源之水。怎样指导？这就意味着在教的强迫性和学的自由性两者之间取得一种微妙的平衡。为寻求这样的平衡，教师要善于在学生当前的现实中选择学习情境，为数学化提供手段和工具，保持课堂互动的相互作用，将学的各部分联系起来，训练学生发现并提出问题的“再创造”和解决问题方法的“再创造”。如“整十数的认识”，我们可选择班级学生的现实性资源作为当前的情境，男女生各有多少？男女人数中，各有多少只眼睛？多少个手指？在自己的身上还发现了哪些数据信息？从刚才的数数中还发现了什么？（数的增长规律）这里的人数、眼睛数、手指数是横向的数学化，而与之对应数的递增是纵向的数学化。因此，数学课堂教学真正落实了再创造原则，学生的实践能力和创新意识的培养才会真正落到实处。

六、应用性原则

学生学习数学遭遇的困难之一就是知识不能联系应用，或者说不能很好地运用习得的知识解决实际问题，这在一定程度上丧失了必需的数学素养。其突出的原因，恐怕是我们的数学教学在这方面存在一个明显的短板，即拉长了密切联系实际的距离，或者说我们的数学与教学仍没有冲出“讲知识、做习题”的应试牢笼。对此，苏霍姆林斯基一针见血地指出：“儿童的学习中遇到困难的原因之一，就是知识往往变成了不能移动的重物，知识被积累起来似乎是为了‘储备’，它们‘不能进入周转’，在日常生活中得不到应用，而首先是不能用来获取新知识。”[6]克服这一弊病，让数学教学回到人才培养的目标上去，回到儿童的本义上去，就是要始终如一地贯彻好应用性教学原则，也就是说，从儿童学习数学的一开始，就要将学数学与用数学紧密结合起来，让数学在现实中“跳跃”，让现实在数学中“扎根”，让密切联系实际应用的数学伴随儿童的成长过程。

比如，当一年级的小朋友入学刚刚学习数数时，我们就结合生活现实丰富儿童的数数情境，让儿童充分感知“数”源于生活，“数数”又用于实际。让他们数一数自己所在的小组有多少位小朋友？是男生多还是女生多？今天离教师节还有几天？看看屏幕上的停车场，共有多少个位置？已停了多少辆汽车？今天是班上一位小朋友的生日，老师为他准备了一块蛋糕，猜一猜这位小朋友今年几岁了？（引起数蜡烛的举动）再如，在学生开始学习简单的加减法时，设计如下问题：军军有16颗弹子，又赢了10颗，现在他有多少颗？假如从现在开始，他又输了5颗，这时他有多少颗？弹子游戏很现实，学生自然感到亲切有趣，输赢的应用性让学生很容易理解加与减的实际意义。为防止学生死记硬背，切实提高学生的应用水平和解决实际问题的能力，我们也不妨设计这样一个问题：水果老板的果铺里有16箱苹果，后来又购进了10箱，他现在有多少箱？这一设计正好与前面的加法问题形成了完美的“假同构”，学生自然会做出“16+10”的解答。其实，这是人为的设计，而不是老板经营的现实，仔细考虑一下就清楚，水果铺里的苹果不是不变的，它随时都有卖出的可能，也许当10箱苹果购进时，16箱苹果不知道剩下多少了。我们知道，在教科书中，每一个问题都有其相应的解决办法，可在现实中有的也许是不可解决的。加强应用性教学，应避免此类问题的发生，像行程问题、工程问题的设计就要与现实相吻合，让学生仿佛亲历过这样的实际。数学知识的运用和解决问题能力的培养也只有在密切联系现实的教学中才能得以实现。

七、反思性原则

有人说，数学是智力的磨刀石。数学课程改革的今天，大家都注重学生智力的启迪、能力的培养，对此，实践中不少教师也倾注了精力，可往往达不到理想的效果，甚至连学生起码的书写、审题、检查等基本的数学态度和学习品质都让老师伤脑筋，为什么？一个重要的原因可能是我们没有把培养和加强学生的反思能力或反思习惯提到应有的高度，忽视了“切问而近思”的重要功能，导致许多学生在学习中不会积极主动地反思。笔者认为，教育的根本目的应该是教会学生怎样自己教育自己。实现自己教自己的根本出路就是学会反思。反思自己曾做过的、感受过的、想象过的、思考过的，以及一个人正在做的、正在感受的、正在想象的、正在思考的。反思一旦开始，就是一种我们每时每刻总在进行的活动，它是我们调整行为过程或改变行动策略的重要手段。

反思作为数学思维的特征，尤其在形式和内容之间的相互作用更具有指正的力量，反思的思维是数学创造的强有力的动力。在一次示范教学中，笔者曾出过这样一道题：在一个正方形里画一条直线，将该正方形面积平分为二，满足这样的直线有多少条？学生凭借经验给出的答案大多是4条（两条对角线和两条纵横平分线），极少数找到“无数条”的答案。我们先不下结论，各自思考一下答案的由来。有的说是“画”出来的，有的说是“折”出来的，有的干脆直言是我们的数学老师这样讲的。笔者不禁骇然，竟有老师这样教学生，我克制着情绪，继续做进一步的探询：你们再画画看或折折看，究竟还能不能画出或折出满足条件的其他直线？有什么新的发现？经过反思、操作、交流，终于发现了：在正方形内，只要通过正方形中心点的任何一条直线都能将该正方形的面积平分为二。为提高学生的思维层次，我“变易”上述图形，以进一步激发学生的再创造：为什么平行四边形的两条对角线互相平分？同学们能不能根据刚才的发现找到这一理由。学生经过课堂里相互影响的反思与交流获得“旋转平行四边形，对角线也都旋转了，但它们的交点没有变”的“再创造”认识。学一个活动的最好方法是“做”，只有让学生在“做中学”，教学方式才会得到真正变革，学生的数学思维能力包括反思性思维的习惯以及积极的情感态度等素养才会真正得以培养。

以上七个小学数学课堂教学原则，可以说从不同的角度或侧面对学生学习数学的本质、数学教育的目的和数学教学的本质作了粗浅的探讨，但这仍需要更多的数学教育理论工作者和广大的数学教育实践者不断地给予充实和完善。▲

[1][4]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，编译.上海：上海教育出版社，1995：115，109.

[2]Paul Ernest.数学教育哲学[M].齐建华，张松枝，译.上海：上海教育出版社，1998:332.

[3][6]B.A.苏霍姆林斯基.给教师的建议[M].杜殿坤，编译.北京：教育科学出版社，1984:69,141.

[5]弗赖登塔尔.数学教育再探[M].刘意竹，杨刚，等，译.上海：上海教育出版社，1999：67.