折合质量在两体问题中的应用

殷正徐

（江苏省沭阳高级中学，江苏 沭阳 223600）

“两体问题”在物理竞赛中是一个重要的考查点，也是自主招生的重要考点.通过折合质量可以把“两体问题”降维为“单体问题”，使运动情景更加清晰，数学运算大大简化.

1 两体问题中的折合质量

二质点系统是最简单的质点系统，通常把二质点孤立系统问题称为二体问题.二体问题中系统动量守恒，质心保持匀速直线运动或保持静止.

图1

如图1所示，设质点1和质点2的质量分别为m1和m2，它们的位矢分别为r1和r2，质点1受到质点2的作用力为f12，质点2受到质点为1的作用力为f21，由牛顿第三定律，有

两质点动力学方程分别为

联立求得

令a12＝a1－a2，a12是质点1相对质点2的加速度.方程改写为

方程（1）就是质点1相对质点2的相对动力学方程，这样我们就把两质点的动力问题转化为一个质点相对于另一质点的动力学问题.二体问题的这种处理称为等效单体问题.

2 等效单体问题的动力学方程和动能定理

2.1 动力学方程

方程μa12＝f12，说明质点1在质点2参考系中运动时所遵守的动力学方程仍满足质点1（称动质点）受到的力与质点1相对于质点2的加速度成正比，折合质量被视为单体的质量.

2.2 动能定理

2.2.1 相对动能表达式

设两质点相对于参考系O的速度为v1，v2，相对于平动质心参考系O′的速度分别为v1′，v2′，设质点1相对于质点2的相对速度为

在质心系O′中质点系的总动量为0，有

联立以上两式可得

由此写出二质点系统相对质心系O′的动能Ek′和相对速度u＝12的关系式为

二质点系统对质心系的动能可用相对速度表示，故称为相对动能（又称为资用能），记作Ekr.特别注意，相对动能表达式中折合质量被视为单体的质量.

2.2.2 动能定理

其中A1内是内力相对于质点2对质点1做的功，证明如下.

由质点系动能定理得

由柯尼希定理得

由于二体系统是孤立系统，故f外≡0，则质点系质心速度不变，质心系的质心动能EkC不变.同样由于f外≡0，外力所做的总功也为0，即A外≡0.所以两体系统的质点系动能定理可写成

上式参考系为惯性参考系O，其中A内为内力对质点1和质点2做功之和，即

而A1内＝f12·Δr12是内力相对于质点2对质点1做的功，得证.

3 质点与等效单体的比较（见表1）

表1

4 折合质量在自主招生题中的应用

例1.（2006年清华大学）如图2所示，质量分别为m1和m2的木块用劲度系数为k的轻弹簧连接起来，用绳子拉紧两物体，使弹簧压缩.某时刻将绳子烧断，试求两木块的振动周期.（不计两木块与地面间摩擦力）

图3

解析：本题是典型的二体运动问题，两个物体都在运动使每个物体的位移与弹簧的形变都不同.下面通过应用常规解法与应用折合质量解法的对比，感受应用折合质量方法解决二体问题的优越性.

解法1（常规解法）：设m1、m2两物体的质心在点O，因两物体在水平方向不受外力，故点O保持不动.以点O为原点沿弹簧方向建立x轴，如图3所示，物体m1、m2对应的速度为v1、v2，对应的坐标变化为Δx1、Δx2.由动量守恒得

在某段时间Δt内

将弹簧看成由两部分组成，设m1到点O段的弹簧的劲度系数为k1，m2到点O段的弹簧的劲度系数为k2，由弹簧的串联关系得

两物体受到弹簧的弹力大小相等、方向相反，得

由简谐运动的周期公式得

由（3）～（6）式得

由对称性可知，木块m1____、m2的振动周期相等，即

解法2（折合质量解法）：两木块运动可以等效为单体运动问题，其折合质量为

其由简谐运动的周期公式得

通过上述两种解法可以看出，用折合质量解决两体问题简洁明了、直击要点.

例2.（2009年复旦大学）质量为M，长为L的小船在无阻力的水面上静止漂浮，有一质量为m的人以相对于船为a的

加速度开始在船板上步行，此时船相对于水面的加速度是

解析：人与小船分别组成系统在水面上不受外力，人与小船间相互作用力为

其中

以地面参考系中，小船受力仍为f，由牛顿第二定律得

由（7）～（9）式得

本题（C）选项正确.

本题直接告之人相对船的加速度，根据等效单体的动力学方程可以求出人与船的内力，再巧妙利用等效前后其作用力相同，从而避免了复杂的相对运动转化.

例3.（2012年卓越）一质量为m＝40kg的孩童，站在质量为M＝20kg的长木板的一端，孩童与木板在水平光滑冰面上以v0＝2m/s的速度一起向右运动.若孩童以a＝2m/s2相对木板的匀加速度跑向另一端，并从端点水平跑离木板时，木板恰好静止.

（1）判断孩童跑动的方向；

（2）求出木板的长度l.

解析：（1）木板由运动做减速运动变为静止，则其受力方向应与运动方向相反，要求孩童应沿着木板运动的方向跑动，即孩童开始时应站在木板的左端，向右跑.

（2）设孩童相对木板的速度为u，初始时刻两者速度相同均为v0，则

由于冰面光滑，孩童和木板组成的系统在水平方向上不受外力，所以动量守恒，即

最终木板恰好静止，即要求木板相对冰面的速度v＝0，由此可得

此时，孩童相对木板的速度为

将两体转化为单体问题，内力为F＝μa，内力的功为A1内＝μal.

由单体问题的动能定理式（2）得

其中

联立（9）～（13）式解得

将已知数据代入上式得l＝2.25m.

本题与例2虽然求解物理量不同，但两体运动情景却惊人的相似，这种“不谋而合”说明高校非常重视两体问题的考察.

图4

解析：两质点间的相对速度为

折合质量为

质点系的资用能（相对质心的动能）为

两质点在逐渐远离的过程中，质点系的资用能转化为万有引力势能（质点系的质心动能不变）.欲使两质点能够相距无穷远，初始时体系的折合机械能（资用能与万有引力势能之和）必须大于等于0，即

联立（14）～（17）式解得

1 程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程（力学篇）［M］.合肥：中国科学技术大学出版社，2012.