一元二次函数在闭区间上的最值问题

摘 要：针对部分中学生对二次函数最值问题的困惑，从方法上给予了归纳，结合具体的例题讲解，希望能解除学生对这类问题的困惑，提高学生学好数学的信心。

关键词：二次函数；闭区间；最值

一元二次函数在闭区间上的最值是函数中最常见、最基本、最重要的一类问题。它不完全由顶点的纵坐标决定，需要根据抛物线的对称轴与区间的位置关系以及开口方向采用分类讨论的方式解决。首先是弄清对称轴与区间的相互位置，进而利用图象，结合单调性求解。图像的指导性在这里显得尤为突出，是数形结合解决问题的一个典范。

一、方法归纳

二、类型归纳

基于以上分析，分为四种类型，分别为定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间和动轴动区间四种基本类型。由于定轴定区间比较简单，动轴动区间情况太复杂，这里就不做详细说明了，重点探讨另外两种情况。

1.定值定区间

2.动轴定动区间

如果我们把对称轴比喻成一个人，区间比喻成一列火车，这种情况就像一个人从一列火车旁边经过，从接近火车到见到火车到走到火车中间再慢慢地离开火车。类似的，这种类型二次函数图象也有如下几种情况：

点评：在画图时，不画出坐标系，是直接从曲线本身出发，把我们要考虑问题的干扰因素减少，使我们的解题更加简洁高效。不画出坐标系，不是说明坐标系不存在，而是站的高度更高了，从宏观上直接把握整体与局部的关系，抓住了问题的实质，另外，二次函数最值问题是其他函数最值问题的一个缩影，解题方法具有迁移性，希望学生能细心体会，融会贯通。

（作者单位 安徽省芜湖县第二中学）

编辑 鲁翠红