“点和圆的位置关系”的教学实录

摘 要：通过一节课的教学实录体现新课标中的情境教学、探究学习的内涵所在。

关键词：实录；课标；探究；有效

2013年9月18日，我们研修班中学数学组的一行7人到南屏中学参加常态课摸底观摩，其中三位老师的内容是人教版数学八年级上册《全等三角形》中的“线段垂直平分线的性质”，四位老师的内容是人教版数学九年级上册“圆”中的“点和圆的位置关系”。我执教的是“点和圆的位置关系”，现把我教学中的一些片段摘录如下。

【情境导入】

师：我们每个人总会有些情投意合的朋友称为圈内人士，也会有志趣不相符的“陌生人”，我们称为……

生齐答：圈外人士。

（因为是借班上课且是上午第四节课，学生都比较疲惫，通过这个简单的引入拉近和学生的关系，也为下面的学习埋下伏笔。）

师：如果把刚才所说的圈和朋友分别用一个几何图形来表示，应该用什么图形，又是什么样的位置关系呢？

生：圈用圆来表示，朋友用点来表示。

师：请一个同学到黑板上画一圆。（请一生画圆，并记作⊙O）

师：再请一个同学在圆所在的平面内画几个点，要求尽量不同。（再请另一生画点，没达要求的请人补充）

师：看图知，这些点不是在圆上？

生齐答：就是在圆内或圆外。

师：这就是我们今天一起需要研究的内容。（老师边说边板书课题：点和圆的位置关系（1））

【探索新知】

师：在刚才所画的一圆所在的平面中，分别取点A、B、C，使A在圆内，B在圆上，C在圆外，请个人量一下OA、OB、OC的长度，并比较与半径4 cm的大小关系。

（生按要求操作，并前后左右进行比较找规律：A点在圆内，则OA<4；B点在圆上，则OB=4；C点在圆外，则OC>4）

师：在另一个圆所在的平面上取点，使OA=3 cm，OB=4 cm，OC=5 cm，请观察此时三点与圆有怎样的位置关系？前后左右之间交流一下，看是否有相同的结论？

（生按要求操作并交流得出结论：若OC>4，则C点在圆外；若OA<4，则A点在圆内；若OB=4，则B点在圆上.）

师（板书）：若假设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，即OP=d

则：点P在⊙O内？圳dr

……

探索也即探究活动，是在课堂教学中设计具有探索研究问题本质的活动，以问题情境为载体，引导学生积极、自主、合作地进行探究与学习。在学习中获得知识、发展思维、学会研究的方法，从而培养学生的学习能力。通过让学生动手测量，把直观的位置关系与抽象的数量关系互化，从而达到解决问题的需要。

【例题精讲精练】

师：例1.（1）已知⊙O的半径为2，OP=4.2，OA=1.2，OB=2，CO=1，则这些点跟⊙O有怎样的位置关系？

（2）已知OP=3，若点P在⊙O的外部，那么⊙O的半径r满足什么条件？如果P在圆上或圆内呢？

（师生交流，生口述（1）的答案，并探讨（2））

生1：点P在⊙O的外部，r

师：有不同的意见吗？

生2：因为r表示半径，为正数，故还应大于0，即0

（老师提议鼓掌表扬）

……

师：例2.已知⊙O的半径为1，点P到O的距离为d，若方程 x2-2x+d=0有实数根，试判断点P与⊙O的位置关系？

师析：这是与一元二次方程的解有关的问题，现根据“根的判别式”列不等式再解决问题。

生：令Δ≥0，得d≤1；点P在⊙O上或外。（师提醒各位同学注意“≤”的含义）

师：请各位思考：⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R，d分别是方程x2-6x+8=0的两根，则点A与⊙O的位置关系是

（ ）

A.点A在⊙O的内部

B.点A在⊙O上

C.点A在⊙O的外部

D.点A不在⊙O上

（学生独立思考求得方程的解为2和4，但下面谁是R，谁是d，困惑了）

师：不能确定的量，就可以分类思考啊。（学生豁然开朗）

生：当R=2，d=4时，有d>R，则点A在⊙O外；当R=4，d=2时，有d

例3.在直角△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，以A为圆心，以BA为半径作⊙A，问点B、C及BC的中点D与圆A有怎样的位置关系？

[让学生自己读题做题，请一学生到黑板板演（只有简单答案），老师在巡视的过程中发现有一同学有详细过程，就请其板演，但没体现比较过程，老师点评，要求书写规范化]

师：在由“数量关系推断位置关系时，要体现一个比较过程”。

师：刚才研究的是三角形问题，把它放在四边形情境中如何？

变题：已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米，（1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？（2）以点A为圆心，分别以4厘米、5厘米为半径作圆A呢？（3）以A为圆心，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，求此圆半径R的取值范围。

……

（第（3）题答案就五花八门了）有：3≤r≤5或3

让学生讨论研究后，师生交流。

师（用圆规在图上比划的同时和学生对话）：有一点在圆内的话就应是 B ，有一点在圆外的话就应是 C ，故界点应是 B、C ，去掉答案 3

师：讨论是否包括3和5呢？

生：若包括的话，是指B、C在圆上，而非圆内圆外，不符合题意。

师：所以最后答案为3

三道例题在设计时，体现了基础性、层次性、发展性与有效性，对学生巩固、理解、深化与应用所学知识都是有益的、有效的。随着新课程改革的不断深入，教师要不断地教学研究，善于学习、吸收好的教学方法和经验，不断提高课堂教学的有效性和高效化，而搭建“同课异构”的平台更有利于教师的研究性学习。

（作者单位 江苏省海安县吉庆初中）

编辑 谢尾合