一类变分问题与偏微分方程边值问题的等价性

向会立

(湖北民族学院 理学院，湖北 恩施 445000)

一类变分问题与偏微分方程边值问题的等价性

向会立

(湖北民族学院 理学院，湖北 恩施 445000)

通过分析的方法，研究了一类变分问题与一类偏微分方程的边值问题在直角坐标系和柱坐标系下的等价性问题, 为一类变分问题的求解提供了一种有效的方法.

变分问题；偏微分方程；边值问题；等价性

在考虑一个空间区域Ω上具有固定边界的薄膜平衡问题时，通常归结为求解泛函:

(1)

的极小值，这里泛函(1)所具有的的物理意义即薄膜所具有的的能量.同时在最优控制问题中，对性能指标泛函的最小化也经常会遇到形如泛函(1)的变分问题.然而泛函(1)的变分并不容易求解，本文证明了与泛函(1)的变分问题与一类偏微分方程边值问题等价，并在柱面坐标系下刻画了等价偏微分方程的另一种表现形式.

(2)

的解等价.

(3)

由式(3)知:

(4)

从而将φ看作D′(Ω)广义函数，则有广义函数导数的定义有[5]:

即:

利用分部积分易知式(4)成立，从而:J[u+εφ])≥J[u].

即J[u]取极小值.从而定理得证.

的解等价.

从而成立:

由此易得:

从而有:

进一步有:

故定理获证.

[1] 陈恕行.现代偏微分方程导论[M].北京：科学出版社，2006.

[2] 谷超豪.数学物理方程[M].北京：高等教育出版社，2002.

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[4] 周敏.一类与算子谱对应的方程解的性质研究[J].湖北民族学院学报：自然科学版,2009,27(4):391-393.

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EquivalenceBetweenaClassofVariationProblemsandPartialDifferentialEquationBoundaryValueProblems

XIANG Hui-li

(School of Science, Hubei University for Nationalities,Enshi 445000,China)

In this paper, we study equivalence between a class of variation problems and partial differential equation boundary value problems in rectangular Cartesian coordinates system and cylindrical coordinates system, which provides a efficient method for a class of variation problems.

variation problems; partial differential equation; boundary value problems; equivalence

2013-05-15.

教育部重点项目(212111).

向会立(1979- )，男(土家族)，讲师，硕士生，主要从事随机偏微分方程、最优控制方面的研究.

0175.2

A

1008-8423(2013)02-0188-02