一类具有扰动项的非牛顿流方程解的爆破性

王 长 佳

(长春理工大学 理学院,长春 130022)

0 引言与主要结果

考虑如下具有扰动项的非牛顿流方程组的初边值问题:

其中:γ0,γ1,α>0,q>1,σ>2均为常数;Ω∈RN(N≥2)为一边界充分光滑的有界开集;QT=Ω×(0,T],Γ=∂Ω,ΓT=Γ×(0,T];未知函数u=(u1,u2,…,uN)表示流体的速度;P表示压力.

问题(1)为具有扰动项的非牛顿流模型. 文献[1]在一定条件下首次证明了非牛顿流方程组(即α=0时)第一边值问题全局弱解的存在性. 此后,关于非牛顿流方程的存在性理论得到不断完善和发展[2-5]. 文献[6]在q>2时讨论了非牛顿流方程弱解L2-范数的衰减速率问题， 并在1

W(QT)=L2(0,T;H)∩Lq(0,T;Vq)∩Lσ(QT).

用W′(QT)表示W(QT)的对偶空间.

定义1若对任意的φ∈W(QT)∩L∞(0,T;H),φt∈W′(QT)恒有下式成立,则函数u∈W(QT)∩L∞(0,T;H),ut∈W′(QT)称为问题(1)的弱解:

本文定义

(3)

定理1假设σ>2,q<σ,E(0)≤0,如果问题(1)存在定义1意义下的弱解,则其必在有限时刻爆破.

1 定理1的证明

根据定义1,显然u可以作为积分等式(2)中的检验函数,取φ=u,并注意到

⊗u:udxdt=0,

可得如下第一型能量积分等式:

(4)

下面推导关于u的第二型能量估计. 将式(1)1两边乘以ut并在Ω上积分,再利用分部积分并注意到

得

利用

并注意到E(t)的定义,得

(5)

在(0,t)上积分式(5),可得如下第二型能量积分等式:

(6)

由G(t)的定义,有

综合式(4),(8),得

将式(8)乘以λ,并将结果与式(6)相加再利用E(t)的定义得

由于E(0)≤0,从而有

下面针对q的不同取值范围进行讨论.

若u为一个非稳态解,则存在ε>0和时刻t′>0,使得对所有的t≥t′,都有

成立. 定义t*=sup{t>0;‖u(·,t)‖∞<∞,对所有的t

假设解不发生爆破(即t*=∞),则利用Hölder’s不等式,可得

将其代入式(11)得

ν(G′(t))2≤G″(t)G(t),

进而可得

对所有的t>t0.

(12)

对式(12)在(t0,t)上积分得

由于

与t*=∞的假设矛盾.

(13)

又由

及式(13),可得

(14)

假设解不发生爆破,即t*=∞. 类似q>2的情形,对非稳态解u存在t0>0,使得当t≥t0时G(t),G′(t),G″(t)恒为正,进而可得当t→∞时,有G′(t)→∞.

对式(14)在(t0,t)上积分得

由于

与t*=∞的假设矛盾.

综合上述两种情形,即得到定理1.

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