一类随机积分-微分方程的均方概周期解

刘柏枫,韩玉良,孙喜东

(山东工商学院 数学与信息科学学院,山东 烟台 264005)

0 引 言

概周期函数是比周期函数更广的一类函数,在物理、 生物、 数学、 控制论及神经网络等领域应用广泛,目前已有许多研究结果[1-3]. 文献[4-11]研究了It随机微分方程的概周期解、 伪概周期解及概自守解等. 积分-微分方程在力学、 电磁学、 原子反应动力系统及人口动力系统中应用广泛. 文献[8]研究了如下随机积分-微分方程:

文献[8]在假设随机微分方程(1)对应线性部分是指数稳定的条件下,给出了方程(1)均方概周期解的存在唯一性定理. 但由于指数型稳定性是一个非常强的条件,因此即使形如A=diag{1,-1}的系统指数稳定也很难做到,而这样的系统显然满足指数型二分性. 本文在指数型二分性的条件下研究形如随机积分-微分方程(1)的均方概周期解的存在唯一性.

1 线性随机积分-微分方程

对x∈L2(P,Rn),定义

易验证当赋予范数‖·‖∞时,L2(P,Rn)是一个Banach空间. 用AP(R,L2(P,Rn))表示所有x: R →L2(P,Rn)均方概周期随机过程的集合,用AP(R×L2(P,Rn),L2(P,Rn))表示所有f: R×L2(P,Rn) →L2(P,Rn)一致概周期随机过程的集合.

类似于文献[2]的证明,有:

考虑如下线性随机积分-微分方程:

(2)

定义1对于一个 Rn值的{Ft,t∈R}相适的随机过程{x(t)}t∈R,如果对任意的t≥s,有

则称{x(t)}t∈R为方程(2)的一个解.

定义2如果存在投影算子P(P是线性的且满足P2=P)及常数α1>0,α2>0和β1>1,β2>1,使得:

‖X(t)PX-1(s)‖2≤β1e-α1(t-s),t≥s,

(3)

‖X(t)(I-P)X-1(s)‖2≤β2eα2(s-t),t≤s,

(4)

则系统(2)所对应的齐次线性微分方程称为满足指数型二分性. 其中X(t)是方程(2)所对应齐次线性微分方程的基本解矩阵.

定理1假设方程(2)所对应的齐次线性微分方程满足指数型二分性,A(t)∈AP(R,Rn×Rn). 则对给定的f1,f2,gj∈AP(R,L2(P,Rn))(j=1,2,…,m),方程(2)存在唯一均方概周期解.

证明：设随机过程{x(t)}t∈R由下式定义:

由式(3)～(5)、 Cauchy-Schuwarz不等式和随机积分的It等距公式[12]易证

所以由式(5)定义的随机过程{x(t)}t∈R是有意义的,并且容易验证对t∈R,由式(5)定义的x(t)是方程(2)的一个解.

为了证明x(t)是均方概周期的,分别定义

(6)

(7)

设

2 非线性随机积分-微分方程

考虑如下非线性随机积分-微分方程:

其中:A(t)是一个n×n连续矩阵;F1：R×L2(P,Rn) →L2(P,Rn),F2：R×L2(P,Rn) →L2(P,Rn),Gj：R×L2(P,Rn) →L2(P,Rn)(j=1,2,…,m)是连续随机过程;B,C,W(t)如前所述.

假设：

(H1) 方程(10)所对应的齐次线性微分方程满足指数型二分性,A(t)∈AP(R,Rn×Rn);

(H2)F1∈AP(R×L2(P,Rn),L2(P,Rn)),F2∈AP(R×L2(P,Rn),L2(P,Rn)),Gj∈AP(R×L2(P,Rn),L2(P,Rn))(j=1,2,…,m),并且分别满足Lipschitz条件,即存在L1>0,L2>0,L3>0,使得对任意的x,y∈L2(P,Rn),t∈R,

(11)

又由定理1知,Λ把AP(R,L2(P,Rn))映到自身. 分别考虑作用在Banach空间AP(R,L2(P,Rn))上的非线性算子:

对x,y∈AP(R,L2(P,Rn)),t∈R,由Cauchy-Schwarz不等式及随机积分的It等距公式,有

再由Cauchy-Schwarz不等式,有

(14)

(15)

对t∈R,由式(13)～(15),有

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