利用一般tanh函数法和(G′/G)函数扩展法求非线性波动方程的行波解及其一致性分析

李恒燕,韩 笑,刘天宝

(1. 华北水利水电学院 数学与信息科学学院,郑州 450011;2. 吉林大学 数学学院,长春 130012;3. 空军航空大学 数学教研室,长春 130022)

目前,应用最广泛的求非线性方程行波解[1]的方法就是tanh方法和(G′/G)扩展法[2]. 本文运用tanh方法和(G′/G)扩展法求一般的非线性方程行波解,通过对解最后表达形式的分析,表明两种方法具有一致性. tanh方法是最早用于求行波解的方法[3-5];(G′/G)扩展法是建立在tanh方法基础上对行波解进行更一般形式的讨论[6-11],引进了更多的未知系数,得到了更广泛的行波解.

考虑如下一般的非线性波动方程:

utt+αuxx+βu+γu3=0,

(1)

其中:α<0;β,γ为非零参数.

1 (G′/G)拓展法

假设u(x,t)=U(ξ),ξ=kx+wt,则有

ux=kU′,ut=wU′,uxx=k2U″,utt=w2U″.

(2)

将式(2)代入非线性波动方程(1),可得

w2U″+αk2U″+βU+U3=0.

(3)

可将U(ξ)表示为一个关于(G′/G)的多项式:

(4)

其中G=G(ξ)满足G″+λG′+μG=0. 则有

(5)

将式(5)代入式(3),并将代入后式(3)中含有(G′/G)的微分项中(G′/G)的最高次项与不含有(G′/G)的微分项中(G′/G)的最高次项找出来,建立等式可得n+2=3n,解得n=1,即

(6)

(7)

将式(6),(7)代入式(3),可得一个关于(G′/G)的非线性方程,再将所有系数整理并将每个系数均令为0,可得

(8)

将方程组(8)应用Math软件可得4组解：

(9)

将式(9)各组解分别代入式(3),即可得到该非线性方程的行波解.

第一组解求出的行波解是：当λ2-4u>0时,

(10)

则有

其中

(12)

当λ2-4u<0时,

(13)

其中ξ为式(12). 当λ2-4u=0时,

(15)

(16)

其中ξ为式(12).

第二组解求出的行波解是：当λ2-4u>0 时,由式(10),则有

(17)

其中

(18)

当λ2-4u<0时,由式(13),有式(14),其中ξ为式(18). 当λ2-4u=0时,由式(15),有式(16),其中ξ为式(18).

第三组解求出的行波解是：当λ2-4u>0时,由式(10),有

其中ξ为式(12). 当λ2-4u<0时,由式(13),有

其中ξ为式(12). 当λ2-4u=0时,由式(15),有

(21)

其中ξ为式(12).

第四组解求出的行波解是：当λ2-4u>0时,由式(10),有式(19),其中ξ为式(18). 当λ2-4u<0 时,由式(13),有式(20),其中ξ为式(18). 当λ2-4u=0时,由式(15),有式(21),其中ξ为式(18).

2 tanh函数法

假设u(x,t)=U(ξ),ξ=kx+λt,则有

ux=kU′,ut=λU′,uxx=k2U″,utt=λ2U″.

(22)

将式(22)代入非线性波动方程(1),可得

λ2U″+αk2U″+βU+γU3=0.

(23)

可假设U(ξ)为一个关于w的多项式:

(24)

(25)

将式(24),(25)代入式(9),即可得到一个线性方程,应用齐次平衡原理,可得一个关于M的方程：4+M-2=3M,解得M=1. 又由式(24),可得U(ξ)=a0+a1w+b1w-1. 显然可得

(26)

式(26)代入式(9)即可得一个关于w的代数方程:

将方程(27)的所有系数整理并将每个系数均令为0,可得

(28)

将方程组(28)应用Math软件可得8组解：

(29)

计算得到的1～4组解显然与(G′/G)展开法得到的解一致,而由于本文推广了双曲正切法,从而比(G′/G)方法多得到了4组解,即得到了b1≠0的解.

将式(29)的各组解代入式(23),即可得到该非线性方程的行波解. 分析对应的a0,a1,b1,对于方程中不同的参数γ可得相应的解为: 当γ<0,即b<0时,对应的行波解表达式如下:

当γ>0,即b>0时,对应的行波解表达式如下:

当γ<0,特别取α=-1,β=2,γ=-1时,常数b=-4,对应双曲正切解和双曲余切解可得行波解的图像.

3 一致性分析

用tanh方法求出的行波解形式为

通过上述推导与分析得到了统一的结果,可见(G′/G)拓展法和tanh函数方法在本质上是一致的,此外利用扩展的双曲正切函数法可以得到更多的精确形式行波解.

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