广义Ⅰ型一致不变凸条件下的极大极小分式规划的二阶对偶

焦合华,刘三阳

(1.西安电子科技大学 理学院,西安 710071； 2.长江师范学院 数学与计算机学院,重庆 408100)

0 引 言

函数的凸性在数学规划如最优性和对偶性等方面具有重要作用,目前的研究都致力于弱化凸性条件以扩大其应用范围,并取得了丰富成果[1-13].而极大极小分式规划是数学规划的一种重要类型,在投资组合选择、 多目标规划、 工程设计等领域应用广泛.文献[2-4]研究了如下极大极小分式规划(P)的最优性和对偶性:

其中:S={x∈X:g(x)≤0}为(P)的可行集;X⊆n开;Y⊆l紧.设f,h:X×Y→和g:X→m关于x的一、 二阶偏导数均连续,并且对∀(x,y)∈S×Y,f(x,y)≥0,h(x,y)>0.Mangasarian[5]在一类非线性规划中建立了二阶对偶模型,并得到了一些对偶结果;Bector等[6]在一类广义不变凸条件下建立了极大极小规划的二阶对偶定理;Liu[7]利用二阶广义B-不变凸推广了文献[6]的相应结果;Mishra等[8]利用广义Ⅰ型函数建立了不可微极大极小规划的二阶对偶定理;Husain等[9]在一类广义凸条件下,分别证明了不可微极大极小规划的Mangasarian型和Mond-Weir型二阶对偶定理;Husain等[10]和Sharma等[11]分别在两种不同广义凸条件下建立了极大极小分式规划问题(P)的二阶对偶定理.Ahmad等[12]在二阶(F,α,ρ,d)-Ⅰ型条件下,证明了一类不可微极大极小规划的二阶Wolfe型和Mond-Weir型对偶定理;Jayswal等[13]在(F,α,ρ,θ)-d-Ⅴ一致不变凸条件下,得到了一类非光滑多目标规划问题的几个最优性充分条件和Mond-Weir型对偶定理.

基于上述结果,本文利用二阶(F,α,ρ,d)-Ⅰ型函数和(F,α,ρ,θ)-d-Ⅴ一致不变凸函数,提出二阶广义(F,α,ρ,θ)-d-Ⅴ-Ⅰ型一致不变凸的概念,建立了极大极小分式规划问题(P)的一个二阶对偶模型,并在此二阶广义Ⅰ型一致不变凸条件下,讨论了其弱对偶、 强对偶和严格逆对偶定理.

1 预备知识

令M={1,2,…,m},对∀x∈S,规定：

K(x)={(s,t,u)∈

u=(y1,y2,…,ys),yi∈Y(x),i=1,2,…,s}.

定义1[12]称函数F:X×X×n→关于第三变量是次线性的,如果对∀满足:

设α=(α0,α1): (X×X)→+{0},ρ=(ρ0,ρ1)∈×,b0,b1:X×X→+,φ0,φ1:→,d:→(满足d(0)=0),θ:X×X→+(满足⟺并设φ,ω:X→在处都是二阶可微的,“”表示关于x的梯度向量.

利用文献[12]中二阶(F,α,ρ,d)-Ⅰ型函数和文献[13]中(F,α,ρ,θ)-d-Ⅴ一致不变凸函数,引入如下定义.

定义2若对∀x∈S,p∈n,存在d,θ,bt,φt,αt,ρt(t=0,1)和函数F,使得

2 对偶性

下面建立极大极小分式规划(P)的二阶对偶模型(D),并在二阶广义(F,α,ρ,θ)-d-Ⅴ-Ⅰ型一致不变凸条件下证明其弱对偶、 强对偶和严格逆对偶定理.

定理2(弱对偶) 设x和(z,μ,λ,s,t,u,p)分别为规划(P)和对偶(D)的可行解,并且:

2)φ0(a)≥0⟹a≥0,a≥0⟹φ1(a)≥0,b0(x,z)>0,b1(x,z)≥0;

3)α0(x,z)=α1(x,z),ρ0≥-ρ1.

证明：因为a≥0⟹φ1(a)≥0,b1(x,z)≥0,所以由式(6)可得

再由条件1)的第二部分,可得

利用式(4)和F的次线性,可得

考虑条件3),可得

再根据条件1)的第一部分,又可得

由b0(x,z)>0,φ0(a)≥0⟹a≥0和式(5),可得

故存在某个i0,使得

ti0(f(x,yi0)-λh(x,yi0))≥0,

再由条件2)中第二部分可得

利用式(4)和函数F的次线性可知

根据条件4),有

再由条件2)中第一部分可得

因此存在i0,使得

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