怎样探求和圆有关的阴影部分的面积

孟凡敏

求图形阴影部分的面积，是中考试题的重要内容之一.这些题目除了着重考查基础知识之外，还可考查同学们数学方法的掌握情况以及对数学思想的理解和应用，以此提高同学们分析问题、解决问题的能力.现以2013年中考试题为例，对各类解法加以归类说明.

一、面积公式法

例1 （2013年重庆）如图1，是一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中阴影部分的面积为_____.（结果保留π）

解析：S扇形= = =π，S△AOB= ×2×2=2，

则S阴影=S扇形﹣S△AOB= π-2.

故答案为π-2.

温馨提示： 本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积计算公式.求图形的面积常用到三角形面积公式、平行四边形面积公式、梯形面积公式、圆面积公式、扇形面积公式等，解题的关键是灵活应用这些公式.

二、作差法

例2 （2013年广西南宁）如图2，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为_____.

解析：如图2，连接OB、OD.

设小圆的圆心为P，⊙P与⊙O的切点为G.

过G作两圆的公切线EF，交AB于E，交BC于F，

则∠BEF=∠BFE=90°-30°=60°，所以△BEF是等边三角形.

在Rt△OBD中，OD=BD·tan30°=1× = ，OB=2OD= ，BG=OB-OG= .

由于⊙P是等边△BEF的内切圆，所以点P是△BEF的内心，也是重心，

故PG= BG= .

∴S⊙O=π×（ ）2= π，S⊙P=π×（ ）2= π；

∴S阴影=S△ABC-S⊙O-3S⊙P= - π- π= - π.

故答案为 - π.

温馨提示：本题主要考查了等边三角形的性质、相切两圆的性质以及图形面积的计算方法，解题的关键是理解阴影部分的面积等于三角形ABC的面积减去四个圆的面积.当图形比较复杂时，可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形面积的和或差来计算.

三、图形变换法

例3 （2013年黑龙江大庆）如图3，三角形ABC是边长为1的正三角形， 与 所对的圆心角均为120°，则图中阴影部分的面积为_____.

解析：如图3，设 与 相交于点O，连接OA，OB，OC，线段OA将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及逆时针绕点O旋转120°后，阴影部分便合并成△OBC，它的面积等于△ABC面积的 ，

∴S阴影部分= × ×12= .

故答案为 .

温馨提示：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角.也考查了等边三角形的面积公式： sin60°×边长2.根据题意得出阴影部分的面积恰好为三角形ABC面积的 是解答此题的关键.当所求的阴影部分的面积与抛物线、双曲线、矩形等图形有关时，常利用平移、旋转或轴对称化零为整进行思考.

四、割补法

例4 （2013年江苏宿迁）如图4，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点.将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是_____.（结果保留π）

解析：如图4，过点O作OD⊥BC于点D，交 于点E，连接OC，

则点E是BEC的中点，由折叠的性质可得点O为BOC的中点，

∴OD=OE，S弓形BO=S弓形CO ，

∴S阴影=S扇形AOC .

在Rt△BOD中，OD= r=2，OB=r=4，

∴∠OBD=30°，∴∠AOC=60°，

∴S阴影=S扇形AOC= = .

故答案为 .

温馨提示：本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点O是BOC的中点，将阴影部分的面积转化为扇形的面积.割补法可以将不规则图形割补成规则图形，进而转化为熟悉的图形面积求解.

五、等积法

例5 （2013年湖北襄阳）如图5，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E.B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）.

A. B.

C. D. -

解析：连接BD，BE，BO，EO，如图5.

∵B，E是半圆弧的三等分点，

∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，

∠BAC=30°，

∴ = π，解得R=2 .

∴AB=ADcos30°=2 ， BC= AB= ，AC= =3，

∴S△ABC= ×BC×AC= × ×3= .

∵△BOE和△ABE同底等高，

∴△BOE和△ABE面积相等，

∴图中阴影部分的面积为S△ABC-S扇形BOE

= - = - .

故选D.

温馨提示：本题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积的求法等知识，根据已知得出△BOE和△ABE面积相等是解题的关键.把阴影部分的面积转化为和它面积相等的特殊图形的面积，是求不规则图形的面积常用的方法之一.

六、设元法

例6 （2013年山东烟台）如图6，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画 ，连接AF，CF，则图中阴影部分的面积为_____.

解析：设正方形EFGB的边长为a，则CE=4-a，AG=4+a，

阴影部分的面积=S扇形ABC+S正方形EFGB+

S△CEF-S△AFG

= +a2+ ×a（4-a）- ×a（4+a）

=4π+a2+2a- -2a- =4π.

故答案为4π.

温馨提示：本题考查了正方形的性质、整式的混合运算、扇形的面积计算，引入小正方形的边长这一中间量是解题的关键.只要设出小正方形的边长，都可以表示出其他线段的长.由于点E的变化，引起阴影图形形状的变化，但面积是定值.所以“变”与“不变”是矛盾的统一，这点应引起同学们高度的重视.