KdV－Burgers－Kuramoto方程另一类指数函数求法及新的精确解

胡恒春， 王利金， 刘 磊

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

1 问题的提出

Benney在研究具有耗散项和不稳定因素下的KdV 方程时，提出了一个包含耗散项和不稳定项的一维波模型.通过这种一维波模型得出了KdVBurgers－Kuramoto（KBK）方程，也叫Benney方程［1］，它的表达式为

方程（1）在光学物理中起着非常重要的作用，其中，β代表频率系数，α，γ 分别表示耗散和不稳定作用.它可用于描述斜平面上向下流动黏性流体的非线性表面长波、等离子体中不稳定漂流波、碎片状多孔介质中的应力波.

当式（1）中的γ＝0 时，KBK 方程就变成了KdV－Burgers（KB）方程，它是流体力学中一种非常重要的物理模型［2］，也是在一维空间中对流体的近似描述，其表达式形式为

当式（1）中的β＝0 时，KBK 方程就变成了Kuramoto－Sivashinsky（KS）方 程.KS 方 程 是Kuramoto和Sivashinsky导出的缓慢变量方程，被认为是无穷维动力学中非常重要的方程，它的动力学特征有相当大的普适性，其表示形式为

KBK 方程、KB 方程和KS方程这些非线性系统在很多学科中都有相当广泛的应用，因此，求出这些方程的解析解就显得非常重要.已有一些方法对这些方程进行了求解，如先验假设法［3］、齐次平衡法［4－5］、F－展开法［6］.1989年兰慧彬等［7］提出了双曲正切函数展开法，1992年Malfeit［8］首次系统阐述了这种方法的一般求解过程和步骤.本文通过新的指数函数法，对系数进行简单选取，并借助于Maple软件计算了方程新的精确解［9－13］.

2 基本思想

非线性偏微分方程

式中，Ψ 为u，ut，ux，uxx，…的多项式函数.

现介绍指数函数法求解非线性发展方程的步骤.

a.对方程（4）作行波变换

式中，k，ω 为待定常数.

b.将式（5）代入方程（4），得到关于ξ的常微分方程

c.假设方程（6）具有多项式形式的解

d.将方程（6）中的最高阶导数项和非线性最高阶项用式（5）和式（7）代入，然后平衡它们的最高幂次数就能够得到d，q 的值.将方程（6）中的最低阶导数项和非线性最低阶项用式（5）和式（7）代入，平衡这两项的最低次数确定c，p 的值.

e.将确定值后的u（ξ）代入方程（6）中，合并exp（ξ）的同类项，然后令其系数为零.由此可得关于待定常数an和bm的方程组，再用Maple求解该方程组，将所得的结果代入式（7）就得到了方程（4）的精确解.

3 方程的求解

对方程（1）作行波变换

式中，ξ＝kx＋ωt，k，ω 为待定常数，方程（1）便化为常微分方

方程两边对ξ积分，得

设方程（1）的解的形式为

式中，c，d，p，q 为 待 定 正 整 数；an和bm为 待 定系数.

为求得正整数d，q，将方程（10）的最高阶导数项和非线性最高阶项次数平衡，得

式中，hi表示已确定的系数.

通过计算可得

同样，为了求得正整数c和p，将方程（10）的最低阶导数项和非线性最低阶项的次数平衡，得

式中，si为确定的系数.

从而有

由式（14）和式（17）可以看出，c，d 的值可以任意选择，但方程的精确解并不完全依赖于c，d.当p＝q＝1和p＝q＝2时，通过计算所求得的解都含有γ＝0，此时方程（1）就变为KdV－Burgers方程，文献［13］已经求出这种情形下的精确解.因此，只需从p＝q＝3开始计算，方程解的形式可以表示为

如果选取a0＝b0＝a2＝a－2＝b2＝b－2＝0，b－1＝b1＝3和b－3＝b3＝1，那么，式（18）就化为

将式（19）代入方程（10），然后合并exp（ξ）的同类项，对那些求得的方程让它们的系数为零，便可以得到关于待定系数的复杂方程组，借助Maple软件可得到该方程组的13种解.

4 解的讨论

将解a所得的系数代入式（19），并取k＝1，γ＝2，得

由双曲函数变换

式（20）化简为

此时所得解的结构如图1所示.

将解b所得的系数代入式（19），并取k＝2，γ＝1，得

图1 当k＝1，γ＝2时方程的解结构Fig.1 When k＝1，γ＝2，the solution structure of equation

同样，通过变换式（21），式（23）可化为

式（24）相应解的结构如图2所示.

图2 当k＝2，γ＝1时方程的解结构Fig.2 When k＝2，γ＝1，the solution structure of equation

类似地，可以按照系数的不同分类来构造KdVBurgers－Kuramoto方程各种形式的行波解或者孤波解.另外，解i，j，m 所得的系数中的β＝0，那么，方程（1）就变成KS方程.

将解i所得的系数代入式（19），并取k＝1，γ＝1，得

由双曲函数变换，式（25）可化为

式（26）相应解的结构如图3所示.

图3 当k＝1，γ＝1时方程的解结构Fig.3 When k＝1，γ＝1，the solution structure of equation

5 结束语

用指数函数方法对KBK 方程进行了求解，通过对指数函数形式解中的某些系数取特殊值，得到了13种待定系数的解，并通过指数函数和双曲函数之间的关系，构造了KBK 方程的双曲函数形式的精确解.特别地，当所得的系数解中β＝0 时，就得到了KS方程的精确解.

［1］Benney D J.Long nonlinear waves in fluid flow［J］.J Math Phys，1966，45（1）：52－60.

［2］张卫国，东春彦.广义组合KdV 方程与广义组合KdV－Burgers方程孤波解的条件稳定性［J］.上海理工大学学报，2006，28（4）：307－316.

［3］Nozaki K.Hirota’s method and the singular manifold expansion［J］.J Phys Soc Japan，1987，56（1）：3052－3054.

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［6］Ren Y J，Zhang H Q.A generalized F－expansion method to find abundant families of Jacobi elliptic function solution of the（2＋1）－dimensional Nizhnik－Novikov－Veselov equation ［J］.Chaos，Solitons ＆Fractals，2006，27（4）：959－977.

［7］兰慧彬，汪克林.一类非线性方程的函数级数解法［J］.中国科学技术大学学报，1990，20（1）：15－26.

［8］Malfeit W.Solitary wave solutions of nonlinear wave equations［J］.Am J Phys，1992，60（7）：650－654.

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［10］张玲，桑本文，胡恒春.耦合MKdV 系统的非奇异正子解、负子解及复子解［J］.上海理工大学学报，2012，34（1）：76－80.

［11］Ebaid A.Exact solitary wave solutions for some nonlinear evolution equations via exp－function method［J］.Phys Lett A，2007，365（3）：213－225.

［12］He J H，Wu X H.Exp－function method for nonlinear wave equations［J］.Chaos，Solitons ＆Fractals，2006，30（3）：700－708.

［13］Song L，Zhang H.Application of homotopy analysis method to fractional KdV－Burgers－Kuramoto equation［J］.Phys Lett A，2007，367（1）：88－94.