一类超线性Dirichlet问题无穷多个径向对称解的存在性

褚后利， 魏公明

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

1 问题的提出

近年来，对超线性边值问题

的研究取得了长足的进展.其中，Ω 为RN空间中的有 界 区 域，Δ 为Laplace算 子，g 是R 到R 上 的 连 续函数，q∈L2（Ω），且

主要目的是找到合适的Ω，g，q条件，使得问题（1）和问题（2）有无穷多个解.关于此类问题解的存在性利用泛函方法在文献［1－2］中已得到证明.

对超线性边值问题

当g 是奇函数且满足合适的增长条件时，文献［3－5］证明了问题存在无穷多个解.而对g 满足Sobolev空间临界指数增长条件下解的存在性，文献［6］给出了具体证明.在文献［7］中，Castro 和Kurepa将上述结果推广到g 满足超线性Sobolev嵌入定理指数增长时，问题也存在无穷多个径向对称解.本文不仅验证了上述结果，并将上述结论推广到问题（1）和问题（2）上.

取Ω 为RN空间中中心在原点、半径为T 的球.

式中，q（x）为径向对称函数.

为了讨论方便，不失一般性，令

式中，g 为严格单调递增函数.

现给出一些定义.

其中，k∈（0，1］，ρ＞0，m∈R.

定理1 假设g 是局部Lipschitz连续的，且式（2）和式（3）成立.当－2＜α≤0时，若下列条件之一成立：

a.对某些k∈（0，1），L（1，u）是下有界的，且L＋（k）＝＋∞，L－（k）＝－∞；

b.∀m∈R，当u→＋∞时，F（m，u）→＋∞；u→－∞，F（m，u）→－∞.

则问题（1）有无穷多个满足u（0）＞0（u（0）＜0）的径向对称解.

定理1 的结果不仅对满足线性增长条件的g（u）＝A｜u｜p＋B 适用，而且对g（u）＝uln u，u＞1，问题（1）无穷多个解的存在性也可以由定理1得到证明.定理1的方法的另一个优点是，只要p（x ，u，u′）是 一 致 有 界 的，p 可 依 赖 于（x ，u，u′）而变化.

定理1的主要证明过程是首先将问题（1）转化为常微分方程奇异初值问题.

其中，n＝N－1，d为任意实数.

其次利用能量分析法，定义能量函数

问题（8）满足

的解即为问题（1）的径向对称解.进而利用“打靶法”，找到合适的t0＞0，使得问题（8）的解满足

利用式（2）、式（3）和式（11）及Pohozaev 等式去证明

对t∈（0，T］一致成立.

最后利用相平面分析法，在（u，u′）平面上定义连续变量函数θ（t，d），且θ（0，d）＝0.仿效文献［8］的方法去证明

由介值定理可知，问题（10）存在无穷多个解，进而问题（1）有无穷多个径向对称解.

2 能量分析

首先将问题（8）中的微分方程转化为等价的积分方程

引理1 问题（8）有局部解.

证明 取完备度量空间C［0，ε］×［d′－ε，d′＋ε］，定义算子

由定理1的条件可知，g满足局部Lipschitz 条件，即对∀u1（t，d），u2（t，d），∃K＞0，使得

定义

则对上述u1（t，d），u2（t，d）有

由u1（t，d），u2（t，d）的任意性可知

当α＞－2时，取充分小的ε，可使得

由 压 缩 映 射 原 理 可 知，∃u（t，d），使 得Au（t，d）＝u（t，d），即证问题（8）有局部解.

引理2 问题（8）在t∈［ε，＋∞）上有解.

如果（u′（tn，d））2不 趋 向 于 无 穷 大，则 由 平 均 值定理，可找到一个新的递增序列使 得（u′（t′n，d））2→∞.所 以，不 失 一 般 性，可 假 设（u′（tn，d））2→∞.此外，由式（4）成立，可知，u）≥0，因此

另一方面

因为，g 是单调递增函数，所以

由k∈（0，1），d＞0可知，当

有u′（t，d）＜0.

令t0＝t0（k，d），则 对∀t∈（0，t0），有d≥u（t，d）＞kd，u（t0，d）＝kd.

在［0，t0］上积分，有

现寻找满足式（17）的t0.已知

因此，只要

即可，此时

引理3 若L（1，u）是下有界的，且对某些k∈（0，1），有L＋（k）＝∞，L－（k）＝∞，则

对t∈（0，T］一致成立.

证明 令v（x）＝u（x ），x∈Ω，当u满足问题（8），有

仿效Pohozaev不等式的证明方法，有

其中，υ＝（υ1，υ2，…，υN），υ表示Ωε在x点的外法线单位向量，j＝1，2，…，N.

另一方面，在式（19）两边同乘v，并在Ωε上积分，有

将式（23）代入式（22），有

而

由式（18）、式（24）和式（25），以及L（1，u）是下有界的，有

其中，B是与d有关的常数.

已知L＋（k）＝∞，由式（24），有

对t∈（0，T］是一致成立的.

引理3得证.

引理4 如果∀m ∈R，当u→＋∞时，有F（m，u）→∞，则

对t∈（0，T］一致成立.

证明 由E 的定义及式（8），有

对式（27）在［t0，t］上积分，有

其中，m 是关于（n，T，p∞，ρ）的常数.结合式（18）和式（26），引理4得证.

3 相平面分析

如果d＜0，可找到变量函数ψ（t，d），使得

经计算，有

现证明定理1.

证明 仿效文献［6］的方法，由解对初值的连续依赖性，

只要证明式（32）成立.

为了证明式（32），只要证明任意给定正整数J，存在d0，使得当d≥d0（－d≥d0）时，有

成立.

如果x0＞0，定义

由式（2），有

令

r0满足

其中，ω（r0，δ）＝（T／4）αr0m（r0cosδ）sin2δcosδ.

当E（t，d）→∞时，有r（t，d）→∞.由引理3和引理4可知，存在d0，使得对所有t∈（0，T］，若d＞d0，则有r（t，d）≥r0.

假设t≥T／4，且θ（t，d）∈［jπ／2－δ，jπ／2＋δ］.其中，j是非负奇数.由式（31），（34），（35）及g（u）u≥0，有

另一方面，如果θ（t，d）∈［jπ／2＋δ，（j＋2）·π／2－δ］，有

由式（38）和式（39）可知，对t∈［T／4，T］，θ（t，d）是一个单调递增的函数.

现对θ（T，d）进行估计.假设对某些非负奇数j，有

由 式（38）可 知，存 在t1∈（T／4，T／4＋8δ），使得

对t＞t1，θ（s，d）∈［jπ／2＋δ，（j＋2）π／2－δ］及s∈［t1，t］，由式（39）可知

因 此，存 在t0∈（t1，t1＋2（π－2δ）／ω（r0，δ）），

使得

仿效t1存在性的证明，可知存在t3∈（t2，t2＋8δ），使得θ（t3，d）＝（j＋2）π／2＋δ.由t1，t2可得

因为θ（t，d）是单调递增的，所以

另一方面，如果｜θ（T／4，d）－jπ／2｜≥δ，可找到

因此

综上，定理1得证.

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