删失样本α混合序列递归核密度估计的一致强相合性及速度

刘振,吴群英,叶彩园

(桂林理工大学理学院,广西 桂林 541004)

0 引言

令X1,X2,…和Y1,Y2,…是两个随机变量序列,假定X1,X2,…为生存时间,有一个共同的未知的分布函数F(x)和密度函数f(x),Y1,Y2,…为删失时间,也有一个共同的分布函数G(·),令生存时间Xi是删失时间Yi的右删失数据,我们可以观察到Zi=min(Xi,Yi)和δi=I(Xi≤Yi),这里I(·)为示性函数,生存时间{Xi}和删失时间{Yi}是相互独立的,由于生存分析经常应用到寿命、医学实验等实际领域,假定Xi和Yi均为非负.与非删失数据统计分析相比,我们观察到的数据均是成对的数据{Z1,δ1},{Z2,δ2},…,{Zn,δn},基于这些成对的数据Kaplan和Meier[1]提出了分布函数F和G的估计量分别定义如下:

这里Z(i)是Zi的次序统计量,Z(1)≤Z(2)≤…≤Z(n),δ(i)是与Z(i)的i相对应的δi.以上估计简称K-M估计.

(1)

其中,窗宽0

(1)式定义的核密度估计的窗宽是固定的,要使对f的拟合效果更好,涉及最优窗宽的选择问题;同时当样本容量n增加时,需要重新计算估计量,这样需要的计算量会很大.然而我们知道递归核密度估计量中窗宽不是固定的,因此对(1)式进行改进,给出K-M估计下的f的递归核密度估计量fn:

(2)

(3)

这样可以利用计算机编程进行递归,当样本容量n增加时,不用重新计算估计量.

本文中在删失数据α混合序列条件下进行讨论,下面给出α混合的定义:

α(m)(A∩B)-P(A)P(B)|},

如果当m→∞时α(m)→0,则称{ξk,k≥1}是α混合的.

1 结论

本文中假设如下:

(1)设{Xi:i≥1}是一个平稳的α混合系数为α(m)的随机变量序列,具有共同的概率密度函数f(x),{Yi:i≥1}是独立具有相同分布函数G的随机变量序列,且Xi和Yi相互独立;假设α(m)=O(m-v),v>3.

(2)核函数K(x)是R1上的概率密度函数,有界并且可导,其导数也有界.

(3)设概率密度函数f(x)可导且导数有界.

(4)窗宽满足0

(4)

(5)

则

(6)

推论若定理1的条件成立,则

(7)

若定理2的条件成立,则

(8)

2 几个引理

引理1[6]设K(·)及g(·)均为R1的Borel可测函数,满足下述条件:

其中,c(g)为g的连续点集.

(9)

其中,‖Xi‖2+δ(E|Xi|2+δ)1/(2=δ).

(10)

(11)

其中,an=n-1/2(loglogn)1/2.

(12)

其中,an=n1/2(loglogn)1/2.

引理6[5]设{Xi:i≥1}是α混合随机变量序列,混合系数为α(n);{Yi:i≥1}是独立同分布的随机变量序列,若Xi和Yi独立,则{(Xi,Yi)}也是α混合的,且混合系数为4α(n).特别地,{min(Xi,Yi);i≥1}是α混合的,混合系数为4α(n).

3 定理的证明

(13)

(14)

(15)

类似于An1的处理方法,同理可得:

(16)

根据K有界,结合(12)式及hn的递减性,

(17)

综合(14)～(17)式,从而

An→0,a.s.

(18)

又因为:

(19)

观察知

(20)

由Xi和Yi独立性知:

(21)

又根据f和K均为概率密度函数且都有界,用引理1得:

(22)

Wnk,,,根据Toeplitz引理得:→

从而

(23)

(24)

(25)

由于:

(26)

根据K和f有界,hn递减且Xi和Yi独立,结合(22)式,由Cr不等式得:

(27)

(28)

(29)

(30)

又由01则:

(31)

根据定理1的证明得:

An1=An3=Bn1=O(n-r),a.s.An2=O(na-1/2(loglogn)1/2),a.s.Bn4=O(δn)=O(n-2a-r)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

结合(34)～(36)式得:

根据Borel-Cantelli引理知

(37)

结合(32)～(33)式和(37)式得:An+Bn=O(n-a+na-1/2(loglogn)1/2),a.s.

由(13)式知定理2得证.

推论的证明由引理4得:

(38)

根据定理1和引理4得

Ln1→0,a.s.,Ln2=O(an)=O(n-1/2(loglogn)1/2)→0,a.s.

(39)

根据定理2和引理4得

Ln1=O(n-a+na-1/2(loglogn)1/2),a.s.,Ln2=O(an)=O(n-1/2(loglogn)1/2),a.s.,

故推论得证.

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